강의노트 z-변환 정리와 속성

정리와 속성

$f(t)$함수의 이산화된 값은 $f^{ * }(kT)= \sum_{k=0}^{\infty} f(kT)\delta(t-kT)$이고, z-변환은 $Z(f^{ * }(t)) = F(z)$이다.

$\alpha, \beta$는 상수이다.

상수 곱

$$Z(\alpha f(t)) = \sum_{k=0}^{\infty}\alpha f(kT)\delta(t-kT) = \alpha \sum_{k=0}^{\infty} f(kT)\delta(t-kT) =\alpha Z(f(t)) = a F(z)$$

선형성

$$f(t) = \alpha x(t) + \beta g(t) \xrightarrow{z-transform} F(z) = \alpha X(z) + \beta G(z)$$

지수함수 곱

$$Z[ e^{-at}f(t) ] = F(ze^{aT})$$

증명 :

$$Z[ e^{-at}f(t) ] = \sum_{k=0}^{\infty} e^{-at} f(kT) z^{-k} = \sum_{k=0}^{\infty}f(kT)(ze^{aT})^{-k}=F(ze^{aT})$$

이동

뒤로 이동(Backward shift)

$$Z[f(t-nT)] = z^{-n}F(z)$$

증명 :

$$Z[f(t)] = f(0) + \dfrac{f(T)}{z}+ \dfrac{f(2T)}{z^2}+...$$

실시간 nT샘플이 뒤로 이동하면

$$Z[f(t-nT)] = \dfrac{f(0)}{z^n} + \dfrac{f(T)}{z^{n+1}}+ \dfrac{f(2T)}{z^{n+2}}+... = \dfrac{1}{z^n} \left( f(0) + \dfrac{f(T)}{z} + \dfrac{f(2T)}{z^{2}}+... \right) = z^{-n} F(z)$$

앞으로 이동(Forward shift)

$$Z[f(t+nT)]=z^n F(z) - z^n f(0) - z^{n-1}f(T) - z^{n-2}f(2T) - ... - z f(n-1)$$

증명 :

$$Z[f(t+T)] = f(T) + \dfrac{f(2T)}{z} + \dfrac{f(3T)}{z^2}+ ...$$

$$\dfrac{1}{z}Z[f(t+T)] = \dfrac{f(T)}{z} + \dfrac{f(2T)}{z^2} + \dfrac{f(3T)}{z^3}+ ...$$

$$\dfrac{1}{z}Z[f(t+T)] + f(0) =f(0)+ \dfrac{f(T)}{z} + \dfrac{f(2T)}{z^2} + \dfrac{f(3T)}{z^3}+ ...$$

$$\dfrac{1}{z}Z[f(t+T)] + f(0) =F(z)$$

$$Z[f(t+T)] =zF(z) - zf(0)$$

비슷한 방법으로

$$Z[f(t+2T)] =zF(z+T) - zf(1) = z^2 F(z) - z^2 f(0) -zf(T)$$

초기값

$$f(0) = \lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{z \to \infty} F(z)$$

증명 :

$$F(z) = f(0) + \dfrac{f(T)}{z}+ \dfrac{f(2T)}{z^2}+...$$

$$\lim_{z \to \infty} F(z) = f(0)$$

최종값

$$f(\infty ) = \lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{z \to 1} \left[ (z-1) F(z) \right]$$

증명 :

$$\tag{1}Z[f(t)] = F(z) = \sum_{k=0}^{\infty} f(kT) z^{-k}$$

$$\tag{2} Z[f(k+T)] = zF(z)-zf(0) = \sum_{k=0}^{\infty} f(k+T) z^{-k}$$

식(1)에서 식(2)를 빼면 극한을 취한다.

$$\tag{3} \lim_{z \to 1} [(z-1)F(z) -zf(0)] = \lim_{z \to 1} [\sum_{k=0}^{\infty} f(k+T) z^{-k} -\sum_{k=0}^{\infty} f(kT) z^{-k}] = \sum_{k=0}^{\infty} \lim_{z \to 1} \left[ (f(k+T) - f(k)) z^{-k} \right]$$

$$\tag{4} \lim_{z \to 1} [(z-1) F(z) - zf(0)] = f(\infty) - f(0)$$

$$\tag{5} \lim_{z \to 1}[(z-1)F(z)] = f(\infty)$$