강의노트 변압기의 페이서도

지상 부하가 연결된 변압기

아래와 같은 간략화된 변압기의 모델을 이용하여 변압기의 2차측에 지상 부하(lagging load)가 연결되어 있는 경우를 생각합니다.

위의 회로에서 변압기의 권선비를 다음과 같이 $1:1$ 로 가정합니다.

$$\tag{1} a = \frac{N_{1}}{ N_{2}}= 1$$

그러면 위의 회로에서 $a =1$ 이므로 다음을 만족합니다.

$$\tag{2} \begin{align*} \mathbf{V}_ {i1} &= a \mathbf{V}_ {i2} = \mathbf{V}_ {i2} \\ \mathbf{I}_ {i1} &= \frac{1}{a} \,\mathbf{I}_ {i2} = \mathbf{I}_ {i2} \end{align*}$$

따라서 위의 회로는 아래와 같이 간략화 할 수 있습니다.

위와 같은 회로에서 부하 전압과 부하 전류가 주어졌을 때 1차측 전압과 전류를 페이서도를 이용하여 도식적으로 구하여 봅니다.

부하 전압과 전류의 도시

주어지는 값은 부하 전압과 부하 전류입니다. 따라서 먼저 부하 전압과 전류의 페이서를 그립니다.

먼저 부하 전압 $\mathbf{V}_ {2}$를 기준으로 하여 실수축 상에 도시합니다. 부하의 역률각을 $\phi$ 라고 하면, 지상 역률이므로 부하 전압의 상대적인 위상각을 고려하여 부하 전류 $\mathbf{I}_{2}$를 도시합니다. 결과적인 페이서도는 다음과 같습니다.

여자 전류와 1차측 전류

이제 여자 전류를 구합니다. 여자 전류 $\mathbf{I}_ {m}$은 다음과 같이 표현됩니다. 식$(3)$으로부터 여자 전류 $\mathbf{I}_ {m}$은 2차측 전압(부하 전압) $\mathbf{V}_ {2}$에 비해 $90^\circ$ 뒤진다는 것을 알 수 있습니다.

$$\tag{3} \begin{equation} \mathbf{I}_ {m}=\dfrac{\mathbf{V}_ {2}}{j X_{m}} \end{equation}$$

위의 회로에 KCL을 적용하면 1차측 전류 $\mathbf{I}_ {1}$을 구할 수 있습니다.

$$\tag{4} \begin{equation} \mathbf{I}_ {1}= \mathbf{I}_ {m}+ \mathbf{I}_ {2} \end{equation}$$

위의 페이서도에 먼저 여자 전류 $\mathbf{I}_ {m}$의 페이서를 그리고 이와 부하 전류 $\mathbf{I}_ {2}$ 페이서와의 합을 그립니다. 결과 페이서는 1차측 전류 $\mathbf{I}_ {1}$의 페이서가 됩니다. 아래에 이를 도시하였습니다.

최종 페이서도

다음에는 KVL을 적용하면 1차측 전압을 구할 수 있습니다. 즉,

$$\tag{5} \begin{equation} \mathbf{V}_ {1}= \mathbf{V}_ {2}+ j X_{l} \, \mathbf{I}_ {1} \end{equation}$$

이다. 여기서 $j X_{l} \, \mathbf{I}_ {1}$의 페이서는 $j$가 페이서를 시계 반대 방향으로 $90^\circ$ 회전시키는 역할을하므로 $\mathbf{I}_ {1}$에 $90^\circ$ 앞서는 위상을 가지며 크기는 $X_{l}$배가 됩니다.

그다음에 식$(5)$와 같이 $\mathbf{V}_ {2}$ 페이서와 합성하면 1차측 전압 $\mathbf{V}_ {1}$을 구할 수 있으며, 다음그림과 같이 최종적인 페이서도를 나타낼 수 있습니다.

위의 페이서도에서 $\left | \mathbf{V}_ {1}\right |$이 고정되어 있을때, 역률이 일정한 상태를 유지하면서 부하 전류의 크기 $\left | \mathbf{I}_ {2}\right |$가 증가한다면 2차측 전압 $\left | \mathbf{V}_ {2}\right |$가 줄어든다는 것을 알 수 있습니다.