강의노트 장거리 송전선로의 4단자 정수 표현

앞에서 다음과 같은 송전 선로의 식을 알아보았습니다.

$$\tag{1} \begin{align*} \mathbf{V}_S &= \mathbf{V}_R \cosh \gamma \ell + \mathbf{I}_R \mathbf{Z}_0 \sinh \gamma \ell \\ \mathbf{I}_S &= \frac{\mathbf{V}_R}{\mathbf{Z}_0} \sinh \gamma \ell + \mathbf{I}_R \cosh \gamma \ell \end{align*}$$

위의 식으로 표시되는 장거리 송전 선로의 4단자 정수를 구하여 봅니다. 4단자 정수의 정의를 다시 나타내면 다음과 같습니다.

$$\tag{2} \begin{align*} \mathbf{V}_ {S} &= A\, \mathbf{V}_ {R}+ B\, \mathbf{I}_ {R} \\ \mathbf{I}_ {S} &= C\, \mathbf{V}_ {R}+ D\, \mathbf{I}_ {R} \end{align*}$$

식$(2)$에서 전송 행렬 $\mathbb{T}$와 4단자 정수는 다음과 같습니다.

$$\tag{3} \mathbb{T}=\begin{bmatrix}A&B \\C&D\end{bmatrix}$$

식$(1)$과 식$(2)$를 비교하여 보면 다음과 같은 4단자 정수를 구할 수 있습니다.

$$\tag{4} \color{red} \begin{align*} A &=\cosh\gamma\ell \\ B &= \mathbf{Z}_ 0\sinh\gamma\ell \\ C &=\dfrac{1}{\mathbf{Z}_0}\sinh\gamma\ell \\ D &=\cosh\gamma\ell \end{align*}$$

식$(4)$에서 다음을 알 수 있습니다.

$$\tag{5} A = D$$

그리고 다음과 같은 성질이 성립하는 것을 알 수 있습니다.

$$\tag{6} \begin{align*} \det \mathbb{T} &= A D - B C \\[1ex] &= \cosh^{2}\gamma\ell -\sinh^{2}\gamma\ell \\[1ex] &= \left(\frac{e^{\gamma \ell } + e^{- \gamma \ell }}{2} \right)^2 - \left(\frac{e^{\gamma \ell } - e^{- \gamma \ell }}{2} \right)^2 \\[2ex] &= 1 \end{align*}$$

따라서 다음과 같이 전송 행렬의 역행렬을 구할 수 있습니다.

$$\tag{7} \mathbb{T}^{-1}=\begin{bmatrix}D&-B \\ -C&A\end{bmatrix}$$