Lecture 교류 전압과 전류의 페이서

교류 전압과 전류의 페이서 표현

전력공학에서는 전압과 전류에 산술적 연산을 할 경우가 많이 있습니다. 서로 다른 2개의 전압을 구별하거나 산술적으로 합하는 방법에 대한 직관을 얻기 위해서 다음과 같이 서로 다른 두 개의 전압이 있다고 가정합니다.

$$\tag{1} \begin{align*} v_1(t) &= V_{\max_1}\cos\left(\omega t +\theta_{V_1}\right) \\[1ex] v_2(t) &= V_{\max_2}\cos\left(\omega t +\theta_{V_2}\right) \end{align*}$$

식$(1)$로 나타내진 두 개의 전압을 관찰하여 보면 두가지가 서로 다른 것을 알 수 있습니다. 주파수는 서로 공유하기 때문에 차이점이 없습니다. 서로 다른 것은 최대치와 위상각임을 알 수 있습니다.

• 최대치 : $V_{\max_1}$과 $V_{\max_2}$
• 위상각 : $\theta_{V_1}$과 $\theta_{V_2}$

이로 부터 위의 두 전압을 구분하기 위해서는 최대치와 위상각이 필요하다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 최대치와 위상각이 주어지면 하나의 유일한 전압이 특정 된다는 것입니다. 따라서 위의 두 전압은 각각 다음과 같은 두 개의 순서쌍으로 대응할 수 있습니다. 즉,

$$(V_{\max_1}, \theta_{V_1}) \quad , \quad (V_{\max_2}, \theta_{V_2})$$

로 각각 나타낼 수 있습니다.

이러한 순서쌍을 하나의 수로 표현하는 방법은 복소수를 이용하는 것입니다. 위의 순서쌍은 복소수에 대응시킬 수 있습니다. 예를 들면 첫번째 전압은 다음과 같은 복소수로 나타낼 수 있습니다. 복소수는 극좌표 표현법으로 나타내었습니다. $\angle$은 복소수의 각을 의미합니다.

$$(V_{\max_1}, \theta_{V_1}) \quad \Longrightarrow \quad V_{\max_1} \angle \theta_{V_1}$$

따라서 위의 두 전압은 각각 다음과 같은 복소수로 나타낼 수 있습니다.

$$V_{\max_1} \angle \theta_{V_1} \quad , \quad V_{\max_2} \angle \theta_{V_2}$$

위와 같이 복소수로 나타낸 전압을 페이서(phasor)라고 합니다. 그리고 위의 전압을 전압 페이서라고 합니다. 그리고 이를 위의 순시값으로 표현된 전압과 구분하기 위하여 기호로 대문자를 굵을 글씨로 사용합니다. 즉, 위의 두 전압페이서는 다음과 같이 나타냅니다.

$$\mathbf{V_1} = V_{\max_1} \angle \theta_{V_1} \quad , \quad \mathbf{V_2} = V_{\max_2} \angle \theta_{V_2}$$

전류의 경우도 동일한 방법으로 페이서로 나타낼 수 있고 이를 전류 페이서라고 합니다. 따라서 정리하면 다음 관계가 성립됨을 알 수 있습니다.

즉, 전압과 전류의 순시값은 페이서에 일대일 대응을 할 수 있으며, 이 페이서는 교류 회로 해석을 쉽게 할 수 있는 결정적 역할을 하게 됩니다.

다음은 교류 전압과 전류의 순시값과 그에 대응하는 페이서를 동일한 복소평면에 나타낸 것입니다.