강의노트 평형 3상 회로의 전력

평형 3상 회로의 복소 전력

평형 3상 회로에서 소모하는 전력은 각상의 전력의 합이므로, 3상 복소 전력을 $\mathbf{S}_{3\phi}$라 하면 다음과 같습니다.

$$\tag{1} \mathbf{S}_ {3\phi}= \mathbf{V}_ {a} \mathbf{I}_ {a}^* + \mathbf{V}_ {b} \mathbf{I}_ {b}^* + \mathbf{V}_ {c}\mathbf{I}_ {c}^*$$

이때, 각 상의 전압과 전류는 다음과 같은 관계를 만족합니다.

$$\tag{2} \begin{align*} \mathbf{V}_ {b} &= \mathbf{V}_ {a} \, e^{- j\frac{2\pi}{3}} \,,\;\; \mathbf{V}_ {c} = \mathbf{V}_ a \,e^{j\frac{2\pi}{3}} \\[1ex] \mathbf{I}_ {b} &= \mathbf{I}_ {a} \, e^{- j\frac{2\pi}{3}} \,,\;\; \mathbf{I}_ {c} = \mathbf{I}_ {a} \, e^{j\frac{2\pi}{3}} \end{align*}$$

위의관계를 앞의 식에 적용하면 다음과 같습니다.

$$\tag{3} \begin{align*} \mathbf{S}_ {3\phi} &= \mathbf{V}_ {a} \mathbf{I}_ {a}^* \\[1ex] &+ \Big(\mathbf{V}_ {a}e^{-j2\pi /3} \Big)\Big(\mathbf{I}_ {a}e^{-j2\pi /3}\Big)^* \\[1.5ex] &+\Big(\mathbf{V}_ {a}e^{j2\pi /3}\Big)\Big(\mathbf{I}_ {a}e^{j2\pi /3}\Big)^* \end{align*}$$

위 식을 정리하여 간략화하면 다음과 같습니다. 즉 평형 3상 복소 전력은 단상 복소 전력의 3배가 됩니다.

$$\tag{4}\color{red} \mathbf{S}_ {3\phi}= 3\,\mathbf{V}_ {a}\mathbf{I}_ {a}^{*}= 3\, \mathbf{S}_ {\phi}$$

평형 3상 회로의 순시 전력

3상 순시 전력은 다음 식으로 구할 수 있습니다.

$$\tag{5} p_{3\phi}(t) = v_{a}(t)i_{a}(t) + v_{b}(t)i_{b}(t) + v_{c}(t)i_{c}(t)$$

평형 3상 시스템의 각 상의 순시 전력은 다음 식으로 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{6} \begin{align*} v_a (t)i_a (t) &= | \mathbf{V}_ a | | \mathbf{I}_ a | \left\{\cos\phi +\cos \left(2\omega t +\theta_{V}+\theta_{I}\right)\right\} \\[1ex] v_{b}(t)i_{b}(t) &= | \mathbf{V}_ b | | \mathbf{I}_ b | \left\{\cos\phi +\cos \left(2\omega t +\theta_{V}+\theta_{I}-\dfrac{4}{3}\pi \right)\right\} \\[1ex] v_{c}(t)i_{c}(t) &= | \mathbf{V}_ c | | \mathbf{I}_ c | \left\{\cos\phi +\cos \left(2\omega t +\theta_{V}+\theta_{I}+\dfrac{4}{3}\pi \right)\right\} \end{align*}$$

위 식에서 3상 평형이므로 각 상의 전압의 크기 혹은 실효치는 동일합니다. 아래 식과 같이 전압의 실효치를 $V$로 표시합니다.

$$\tag{7} | \mathbf{V} _a | = | \mathbf{V} _b | = | \mathbf{V} _c | = V$$

동일하게 각상의 전류의 크기 혹은 실효치도 동일하게 됩니다. $I$ 는 전류의 실효치입니다.

$$\tag{8} | \mathbf{I} _a | = | \mathbf{I} _b | = | \mathbf{I} _c | = I$$

따라서 식$(6)$은 다음과 같습니다.

$$\tag{9} \begin{align*} v_{a}(t)i_{a}(t) &= VI\left\{\cos\phi +\cos \left(2\omega t +\theta_{V}+\theta_{I}\right)\right\} \\[1ex] v_{b}(t)i_{b}(t) &= VI\left\{\cos\phi +\cos \left(2\omega t +\theta_{V}+\theta_{I}-\dfrac{4}{3}\pi \right)\right\} \\[1ex] v_{c}(t)i_{c}(t) &= VI \left\{\cos\phi +\cos \left(2\omega t +\theta_{V}+\theta_{I}+\dfrac{4}{3}\pi \right)\right\} \end{align*}$$

위 식에서 다음을 알 수 있습니다.

$$\tag{10} \begin{align*} &\cos \left(2\omega t + \theta_{V} + \theta_{I}\right) \\[1ex] + & \cos \left(2\omega t +\theta_{V}+\theta_{I}-\dfrac{4}{3}\pi \right) \\ + &\cos \left(2\omega t +\theta_{V}+\theta_{I}+\dfrac{4}{3}\pi \right) = 0 \end{align*}$$

따라서 이것을 위 식을 대입하여 정리하면 다음과 같은 결과를 구할 수 있습니다.

$$\tag{11} \color{red} p_{3\phi}(t) = 3\, VI \cos\phi = 3 P$$

평형 3상 시스템의 장점

평형 3상 시스템의 순시 전력은 다음과 같은 장점을 가지고 있음을 알 수 있습니다.

• 3상 순시 전력은 시간에 관계없이 항상 일정하다. 이것은 3상 시스템의 또 다른 장점 중의 하나이다.
• 3상 교류 전동기의 회전 토크는 항상 일정하며, 단상 전동기에서 나타나는 맥동이 나타나지 않는다.