Lecture 직류기의 동특성

직류기의 동특성

• 직류기의 입·출력에 관한 동특성을 선형화된 전달함수를 중심으로 설명

직류 타여 발전기의 전달함수

• 회전자는 정격 속도 $n_o$으로 운전한다.
• 자속은 비포화 영역에서 동작하는 것으로 가정한다. 즉, $\phi \propto I_f \quad \Rightarrow \phi = K_{p}I_f$
• 계자 전압에 대한 유도기전력의 관계는 다음과 같다.

$$e_i(t) = i_f(t) \cdot R_f + L_f \dfrac{d}{dt} \left(i_f(t) \right)$$

$$e_a(t) = K \phi N = K_e K_p N i_f(t) = C_1 i_f(t)$$

• 위 식을 Laplace 변환하면

$$E_a(s) = C_1 \cdot I_f(s)$$

$$E_i(s) = (R_f + sL_f)I_f(s)$$

$$\dfrac{E_a(s)}{E_i(s)} = \dfrac{C_1}{R_f+sL_f} = \dfrac{\frac{C_1}{R_f}}{1+s\frac{L_f}{R_f}} = \dfrac{C_2}{1+s C_3}$$

• 게인 정수 : $C_2 = \dfrac{K_eK_pN}{R_f}$
• 시정수 : $C_3 = \dfrac{L_f}{R_f}$

직류 타여 전동기의 전달 함수

$$\tau_m(t) = K_t\phi i_a(t) = C_4 \cdot i_a(t) = J \cdot \dfrac{d}{dt} \left( n(t)\right)$$

$$e_a(t) = K_e\phi n(t) = C_5 \cdot n(t)$$

$$i_a(t) \cdot R_a = V(t)-e_o(t)$$

• 위 식을 Laplace 변환하면

$$\tau_m (s) = C_4 \cdot I_a(s) = s \cdot J \cdot N(s)$$

$$E_a(s) = C_5 \cdot N(s)$$

$$I_a(s) \cdot R_a = V(s)-E_a(s)$$

$$V(s) = I_a(s) \cdot R_a + E_a(s) = R_a \dfrac{s \cdot J \cdot N(s)}{C_4} + C_5 \cdot N(s)$$

$$\dfrac{N(s)}{V(s)} = \dfrac{1}{\frac{R_a sJ}{C_4} + C_5 } = \dfrac{C_4}{R_a sJ+ C_4 C_5} = \dfrac{\frac{1}{C_5}}{1+\frac{R_a J}{C_4C_5}s} = \dfrac{C_6}{1+C_7s}$$

직류 타여 전동기의 인디셜 응답

• 시간 0에 일정 전압이 입력된 경우의 직류 타여 전동기의 응답은

$$V(t) = u(t) \Rightarrow V(s) = \dfrac{1}{s}$$

$$\begin{aligned} N(s) &= \dfrac{C_6}{1+C_7 \cdot s}V(s) \\ &=\dfrac{C_6}{1+C_7 \cdot s}\times \dfrac{1}{s} \\ &= \dfrac{C_8}{s}+\dfrac{C_9}{1+C_7 \cdot s} \end{aligned}$$

$$C_8 = s \dfrac{C_6}{1+C_7 \cdot s } \cdot \dfrac{1}{s} \vert_{s=0} = C_6$$

$$C_9 = (1+s\cdot C_7 ) \dfrac{C_6}{1+s \cdot C_7} \cdot \dfrac{1}{s} \vert_{s= \frac{-1}{C_7}}= -C_6 C_7$$

$$N(s) = \dfrac{C_6}{s}+\dfrac{-C_6C_7}{1+C_7 \cdot s} \\ = C_6 \left({\dfrac{1}{s}-\dfrac{C_7}{1+s \cdot C_7}}\right) \\ = C_6 \left({\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+ \frac{1}{C_7}}}\right)$$

$$n(t) = \mathcal{L}^{-1} \left[{N(s)}\right] = C_6 \left({u(t)-e^{\frac{-1}{C_7}t}}\right) \\ = \dfrac{1}{K_e \phi} \left({u(t)-e^{\frac{-C_4C_5}{R_aJ}t}}\right) \\ = \dfrac{1}{K_e \phi} \left({u(t)-e^{\frac{-K_t K_e \Phi^2 }{R_aJ}t}}\right)$$