강의노트 출력과 토오크

공극전력은 전부 기계적 동력으로 변환되며, 회전자 동손은 기계적 손실로 나타납니다.

동기기의 철손은 고정자에서 발생하며 회전하는 기계적 손실과 같은 특성을 가진다.

회전자 동손도 기계적 손실 형태로 나타나 철손과 유사한 특성을 가집니다.

회전손실은 일정한 상수로 취급되며, 공극전력과 전기기계적 변환동력은 동일합니다.

• 전동기인 경우

$$P_{in} = 3 V_s I_a \cos \phi$$

$$Q_{in} = 3 V_s I_a \sin \phi$$

공극전력, 즉 전기기계적 변환동력은 $P_{em} = 3 E_a I_a \cos \gamma$

$V_s \cos \phi = E_a \cos \gamma$ 이므로 $P_{in} = P_{em}$

$$x_s I_a \cos \phi = E_a \sin \delta$$

$V_s$는 공극자속 $B_g$에, $E_a$는 회전자자속 $B_r$에 비례

토크는 기계적 변환동력을 회전각속도(동기속도)로 나눈 값으로 계산됩니다.

동기기의 토크를 부하각의 함수로

$$\tau_e = 3 \dfrac{V_s E_a}{\omega_s x_s} \sin \delta$$

동기기의 토크는 부하각의 함수로 나타날 수 있으며, 전원전압과 계자전류에 따라 토크의 최대치인 항복토크가 발생합니다.

주어진 전원 전압과 계자전류에서 토크의 최대값인 항복토크는 부하각 $\delta$가 90도 일때에 해당한다.

$$\tau_{max} = 3 \dfrac{V_s E_a}{\omega_s x_s}$$

$$P_{in} \approx P_{em} = 3 \dfrac{V_s E_a}{x_s} \sin \delta$$

$$P_{conv} = \tau_{ind} \omega_{m} = 3 E_0 I_a \cos \gamma = \sqrt 3 V I_a \cos \phi$$

출력

$$P = VI \cos \phi$$

$$\sin \alpha = \dfrac{r_a}{Z_s}$$

$$\alpha + \beta + \phi = 90^\circ \quad \Rightarrow \beta = 90^\circ - ( \alpha + \phi )$$

$$\tag{1} \bar{AD}=I Z_s \cdot \sin \beta = IZ_s \cos (\alpha + \phi) = E_0 \sin \delta$$

$$\tag{2} \bar{OD} = V + IZ_s \cos \beta = V + IZ_s \sin (\alpha +\phi) = E_0 \cos \delta$$

식 (1) 양변에 $\cos \alpha$를 곱하고 식(2) 양변에 $\sin \alpha$ 곱하면

$$\begin{cases} \cos \alpha \cdot IZ_s \cos (\alpha + \phi ) = E_0 \sin \delta \cdot \cos \alpha \\ \sin \alpha ( V + IZ_s \sin (\alpha +\phi) ) = E_0 \cos \delta \cdot \sin \alpha \end{cases}$$

• 위의 두 식을 더하면

$$IZ_s [ \cos (\alpha +\phi) \cos \alpha + \sin (\alpha +\phi) \sin \alpha ] \\= E_0 ( \sin \delta \cos \alpha + \cos \delta \sin \alpha ) - V \sin \alpha$$

$$IZ_s \cos (\alpha +\phi - \alpha) = E_0 \sin (\delta + \alpha) - V \sin \alpha$$

$$I = \dfrac{ E_0 \sin (\delta + \alpha) - V \sin \alpha }{Z_s \cos \phi}$$

그러므로,

$$\begin{aligned} P &= V \cos \phi \cdot \dfrac{ E_0 \sin (\delta + \alpha) - V \sin \alpha}{Z_s \cos \phi} \\ &= \dfrac{E_0V}{Z_s}\sin (\delta + \alpha) - \dfrac{V^2}{Z_s}\sin \alpha \end{aligned}$$

$$r_a \ll x_a \quad \Rightarrow \quad \alpha \to 0 \quad \Rightarrow \quad \sin \alpha = 0$$

$$P = \dfrac{E_0V}{Z_s} \sin \delta$$

$$Q = V I \sin \theta = \dfrac{1}{X_s}V E_0 \cos \delta - \dfrac{1}{X_s}V_s^2$$

$$\begin{aligned} Q &= V \sin \phi \cdot \dfrac{ E_0 \sin (\delta + \alpha) - V \sin \alpha}{Z_s \cos \phi} \\ &= \dfrac{E_0V}{Z_s}\sin (\delta + \alpha) - \dfrac{V^2}{Z_s}\sin \alpha \end{aligned}$$

전류가 상전압보다 뒤지는 경우, 즉 발전기가 부하에 지상 무효전력을 공급하는 상태에서 Q가 양의 값을 갖게 된다.

• $E_0 \cos \delta = V$이면 $Q=0$인 역률이 1인 상태가 되고

• $E_a \cos \delta > V_s$이면 발전기가 지상 무효전력을 공급하는 상태($Q > 0$),

• $E_a \cos \delta < V_s$이면 발전기가 진상 무효전력을 공급하는 상태($Q < 0$)

계자를 별도 전원으로 여자할 때는 발전기 전체 입력이 원동기에서 공급되는 기계적 동력에 계자손실을 더한 것이지만 계자가 축에 직결된 여자용 발전기로 여자되는 브러시리스 여자방식의 경우에는 계자의 소모전력도 원동기가 공급하는 기계적 동력에 포함된다.

비돌극기 출력

$$P = 3\dfrac{E_0V}{x_s} \sin \delta$$

최대출력은 $\delta = 90^{\circ}$에서 발생하고 이를 정태 안정도 한계라 한다.

실제 발전기의 부하각은 $15^{\circ} \sim 20^{\circ}$ 에서 운전한다.

$$\tau_{ind} = \dfrac{P}{\omega}=3\dfrac{E_0V}{\omega x_s}\sin \delta$$

돌극기 출력

$$P = 3\dfrac{E_0V}{x_s} \sin \delta + \dfrac{V^2(x_d - x_q )}{2x_d x_q}\sin (2\delta)$$

최대출력은 부하각 $\delta \fallingdotseq 60^{\circ}$에서 발생한다.