Example 단위값을 이용한 회로 계산

아래 그림과 같은 회로가 있다고 할 때, 이회로에 흐르는 전류를 단위법을 이용하여 계산하여라.

풀이

기준값 선정

먼저 기준값을 선정하여야 한다. 다음과 같이 전압 기준값 $V_{B}$와 임피던스 기준값 $Z_{B}$ 를 선정한다. 이때 주의해야 할 점은 실제값이 복소수라고 해도 기준값은 항상 실수라는 것이다.

$$\tag{1} V_{B}= 100 \;\; ,\;\; Z_{B}= 0.1$$

기준값들은 서로 실제값과 동일한 관계를 만족해야 하므로, 나머지 전류 기준값 $I_{B}$ 는 전압과 임피던스의 기준값으로부터 다음과 같이 결정할 수 있다.

$$\tag{2} I_{B}=\dfrac{V_{B}}{Z_{B}}=\dfrac{100}{0.1}= 10^{3}$$

전압 및 임피던스를 단위값으로 변환

단위법의 정의에 의하여 전압과 전류 및 임피던스의 단위값은 다음과 같다.

$$\tag{3} \color{red} \mathbf{V}_ {\mathrm{pu}} = \dfrac{\mathbf{V}}{V_{B}}\;,\quad \mathbf{Z}_ {\mathrm{pu}} = \dfrac{\mathbf{Z}}{Z_{B}}\;,\quad \mathbf{I}_ {\mathrm{pu}} = \dfrac{\mathbf{I}}{I_{B}}$$

이제 위에서 구한 기준값을 이용하여 단위값을 표현된 전압 $\mathbf{V}_ {\mathrm{pu}}$ 와 단위값으로 표현된 임피던스 $\mathbf{Z}_ {\mathrm{pu}}$ 를 구할 수 있다. 먼저 전압의 단위값을 구하여 보자.

$$\tag{4} \mathbf{V}_ {\mathrm{pu}}=\dfrac{\mathbf{V}}{V_{B}}=\dfrac{100}{100}= 1$$

이제 임피던스의 단위값을 구하여 보자.

$$\tag{5} \mathbf{Z}_ {\mathrm{pu}}=\dfrac{\mathbf{Z}}{Z_{B}}=\dfrac{0.1 + j 0.1}{0.1}= 1+j 1$$

단위값으로 나타낸 회로를 아래 그림에 나타내었다. 재미있는 사실은 모든 변수가 일정 범위에 있다는 것이다. 이 예의 경우 모든 변수의 단위값이 $\color{red} 1$ 이다. 이것은 단위법의 장점 중의 하나이다.

단위값을 이용하여 전류 계산

이제 단위값으로 회로에 흐르는 전류를 구해보자. 위에서 구한 전압 및 임피던스로부터 및 전류 $\mathbf{I}_ {\mathrm{pu}}$ 값을 계산할 수 있다.

$$\tag{6} \begin{align*} \mathbf{I}_ {\mathrm{pu}} &= \dfrac{\mathbf{V}_ {\mathrm{pu}}}{\mathbf{Z}_ {\mathrm{pu}}} = \dfrac{\mathbf{V}_ {\mathrm{pu}}}{R_ {\mathrm{pu}} + jX_ {\mathrm{pu}}}\\[2.5ex] &=\dfrac{1}{1 + j 1}= 0.707\phase{ -45^{\circ}} \,{\color{red}[\mathrm{pu}]} \end{align*}$$

단위값을 실제값으로 변환

실제 전류값을 구하려면 단위값에 기준값을 곱해주면 된다.

$$\tag{7} \begin{align*} \mathbf{I} &= \mathbf{I}_ {\mathrm{pu}}I_{B}= 0.707\phase{ -45^{\circ}}\times 10^{3}\\[2ex] &= 707\phase{ -45^{\circ}}\,{\color{red}[\mathrm{A}]} \end{align*}$$