문제 문제 9-5

송전 선로를 통하여 연결된 전동기의 상당 등가 회로는 다음과 같다.

전동기가 송전 선로를 통하여 전달 받을 수 있는 최대 전력은 다음과 같다.

$$P_\mathrm{max} = \frac{E_S E_0}{X_L + X_S} = \frac{(4\times 10^3)^2}{8+4}= 1.333 \,[\mathrm{MW}]$$

(a) 이 최대 전력을 기기의 정격과 비교하면 어떠한가?

전동기의 정격이 2,000[kW]이므로 최대 전력의 정격 대비 비율은 다음과 같다.

$$\% P_\mathrm{max} = \frac{1,333}{2,000} \times 100 = 66.7 \,[\%]$$

(b) 전동기가 탈조하기 직전의 회전자 극의 위치가 전동기 단자 전압에 비해 얼마 만큼 이동했는지 계산하라. 왜 이 각이 $90^{\circ}$ 보다 작은가?

전동기가 탈조하기 직전에는 송전단 전압 $E_S^\phi$와 전동기 내부 기전력 $E_0^\phi$의 위상각이 $90^{\circ}$이다. 따라서 송전단 전압과 전동기 내부 기전력은 각각 다음과 같다. $\phi$는 상 전압을 의미하고, 단위는 [kV]이다.

$$\mathbf{E}_S^\phi = 2.31 \angle 0 \;\,\quad \mathbf{E}_0^\phi = 2.31 \angle(-90^\circ)$$

선로 전류 $\mathbf{I}$를 구하여 보자. 선로 전류의 크기는 다음 식으로 구할 수 있다.

$$I = \frac{\big| \mathbf{E}_S^\phi - \mathbf{E}_0^\phi \big| }{ X_L + X_S }$$

위 그림에서 선로의 전압 강하 $( \mathbf{E}_S^\phi - \mathbf{E}_0^\phi )$는 직각 삼각형의 빗변의 길이에 해당하므로 다음과 같다.

$$\big| \mathbf{E}_S^\phi - \mathbf{E}_0^\phi \big| = \sqrt 2 \times 2.31 = 3.27 \,[\mathrm{kV}]$$

따라서 선로 전류의 크기는 다음과 같이 구할 수 있다.

$$I = \frac{\big| \mathbf{E}_S^\phi - \mathbf{E}_0^\phi \big| }{ X_L + X_S } = \frac{3.27 \times 10^3}{12} = 272 \,[\mathrm{A}]$$

선로 전류는 선로의 전압 강하에 $90^{\circ}$ 뒤지므로 $-45^{\circ}$ 이다. 따라서 선로 전류는 다음과 같이 페이서로 나타낼 수 있다.

$$\mathbf{I} = 272 \angle(-45^{\circ}) \,[\mathrm{A}]$$

이제 전동기 단자 전압은 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\mathbf{E}_R^\phi = \mathbf{E}_S^\phi - j X_L \mathbf{I}$$

선로의 전류를 위 식에 대입하여 전동기 단자 전압을 구한다.

$$\mathbf{E}_R^\phi = \mathbf{E}E_S^\phi - j X_L \mathbf{I} = 2310 - j 8 \times 272 \angle(-45^{\circ}) = 1720 \angle (-63.4^{\circ})$$

탈조가 일어나기 직전의 전동기 내부 기전력과 단자 전압간의 위상각을 $\alpha$라고 하면 이는 송전단 전압과 전동기 단자 전압의 위상각을 알고 있으므로 다음과 같이 구할 수 있다.

$$\alpha = 90 - 63.4 = 22.6^{\circ}$$

따라서 탈조가 일어나기 직전의 전동기 내부 기전력은 단자 전압에 대해 $26.6^{\circ}$ 뒤지게 되고 이각은 $90^{\circ}$ 보다 훨씬 작다.

송전 선로에 연결된 전동기는 무한 모선에 연결된 전동기와 달리 송전 선로가 소모하는 무효 전력 때문에 전동기의 단자 전압이 떨어지게 되어 최대 전력 전달이 감소하게 되고, 최대 전력 전달이 발생하는 위상각도 줄어들게 된다.

(c) 최대 전력 전달이 이루어졌을 때 어느 두 전압 사이의 각이 $90^{\circ}$가 되는가?

최대 전력 전달은 $E_S$와 $E_0$가 $90^{\circ}$의 각을 이룰 때 발생한다.