강의노트 실제 변압기의 모델링

이상변압기와 실제 변압기

이상 변압기의 가정

이상변압기(Ideal Transformer) 는 다음과 같은 가정을 만족하는 변압기를 말합니다.

• 손실이 없다.
• 누설자속(leakage fluxes)이 없다.
• 자성 코어가 무한대의 투자율(permeability)를 가진다.

이상 변압기는 누설 자속과 손실이 없으므로 1차측 및 2차측 전압은 다음과 같이 표현됩니다.

$$\begin{align*} v_{1} &=\dfrac{d\lambda_{1}}{d t}= N_{1}\dfrac{d\Phi_{m}}{d t} \\[2.5ex] v_{2} &=\dfrac{d\lambda_{2}}{d t}= N_{2}\dfrac{d\Phi_{m}}{d t}\end{align*}$$

이상 변압기의 1차측 및 2차측 전압, 전류 관계는 다음과 같습니다.

$$\dfrac{v_{1}}{v_{2}} = \dfrac{i_{2}}{i_{1}} = \dfrac{N_{1}}{N_{2}}=\dfrac{1}{n}= a$$

실제 변압기의 조건

실제변압기는 이상변압기에서의 가정이 더 이상 성립되지 않습니다. 즉, 다음과 같은 조건입니다.

• 손실과 누설자속이 존재한다.
• 코어의 투자율이 유한하다.

이러한 조건 하에서의 실제 변압기의 모델이 이상 변압기 모델과 어떻게 달라지는지 알아봅니다.

실제 변압기의 모델링

누설 자속 고려

다음 관계는 누설 자속이 없는 이상변압기에서의 쇄교 자속에 관한 식입니다.

$$\tag{1} \lambda_{1}= N_{1}\Phi_{m},\; \lambda_{2}= N_{2}\Phi_{m}$$

식$(1)$에서 누설 자속(leakage flux)를 고려 하면 다음과 같은 관계를 가지게 됩니다. 1차측과 2차측의 누설 자속을 각각 $\lambda_{l 1}$, $\lambda_{l 2}$ 라고 하면 식$(1)$은 다음과 같이 변형됩니다.

$$\tag{2} \begin{align*} \lambda_{1}&=\lambda_{l 1}+N_{1}\Phi_{m} \\ \lambda_{2}&=\lambda_{l 2}+ N_{2}\Phi_{m} \end{align*}$$

누설 자속은 주로 공기층으로 빠져나가는 자속이 많으며, 이부분은 높은 릴럭턴스를 가지고 그 크기는 작습니다. 누설 자속은 다음 식으로 표현됩니다.

$$\tag{3} \begin{equation} \lambda_{l1}= L_{l 1}i_{1}\, , \;\lambda_{l2}= L_{l 2}i_{2} \end{equation}$$

위 식에서 1차측 전압과 2차측 전압은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\tag{4} \begin{align*} v_{1}= \dfrac{d\lambda_{1}}{dt} &= L_{l1}\dfrac{di_{1}}{dt}+ N_{1}\dfrac{d\Phi_{m}}{dt} \\[2ex] &= L_{l1}\dfrac{di_{1}}{dt}+ e_1 \\[3ex] v_{2}= \dfrac{d\lambda_{2}}{dt} &= - L_{l2}\dfrac{di_{2}}{dt}+ N_{2}\dfrac{d\Phi_{m}}{dt} \\[2ex] &= - L_{l2}\dfrac{di_{2}}{dt}+ e_2 \end{align*}$$

이로부터 누설 자속을 고려한 변압기의 등가 회로는 이상 변압기가 다음과 같이 확장된 형태로 나타내어 집니다.

손실 고려

이제 손실을 고려합니다. 손실은 등가 회로에서 직렬 저항(series resistance)으로 나타낼 수 있습니다. 1차측과 2차측의 누설 자속을 각각 $R_{1}$, $R_{2}$ 라고 하면 1차측 전압과 2차측 전압은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{5} \begin{align*} v_{1}&= R_{1}i_{1}+\dfrac{d\lambda_{1}}{dt} \\ &= R_{1}i_{1}+ L_{l1}\dfrac{di_{1}}{dt}+ e_1 \\[3ex] v_{2}&= -R_{2}i_{2}+\dfrac{d\lambda_{2}}{dt} \\ &= -R_{2}i_{2}- L_{l2}\dfrac{di_{2}}{dt}+ e_2 \end{align*}$$

누설 자속과 함께 손실을 고려한 실제 변압기의 모델은 다음과 같이 이상 변압기가 확장된 형태로 나타내어 집니다.

유한한 투자율을 고려

실제 변압기는 투자율(permeability) 이 유한하므로 이를 고려해야 합니다. 투자율이 유한한 값을 가지면 자기 저항이 존재하게 되며 이는 다음의 자기 회로의 관계에서 기자력은 0이 되지 않습니다.

$$\tag{6} \begin{equation} F = N_{1}i_{1}-N_{2}i_{2}= \mathcal{R} \Phi_{m} \end{equation}$$

따라서 실제 변압기에서는 2차측을 개방하더라도 1차측에 전류가 흐르게 됩니다. 이 전류를 1차 여자전류(primary magnetization current) 라고 하고 $i_{m}$으로 표시합니다.

2차측 개방시 식$(6)$에서, $i_{2}= 0$ 이므로 식$(6)$은 다음과 같이 됩니다. 이때 $i_{2}= 0$일 때의 1차측 전류는 $i_{1}$은 $i_{m}$이 됩니다.

$$\tag{7} \begin{equation} N_{1}i_{m}= \mathcal{R} \Phi_{m} \end{equation}$$

따라서 여자 전류 $i_{m}$은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\tag{8} \begin{equation} i_{m}=\dfrac{\mathcal{R}\Phi_{m}}{N_{1}} \end{equation}$$

총 기자력은 식$(6)$에 식$(7)$을 적용하면 다음과 같습니다.

$$\tag{9} \begin{equation} F = N_{1}i_{1}-N_{2}i_{2}= N_{1}i_{m} \end{equation}$$

식$(9)$로부터 다음을 구할 수 있습니다.

$$\tag{10} \begin{equation} i_{1}= i_{m}+\dfrac{N_{2}}{N_{1}}i_{2} \end{equation}$$

이때, $e_{1}$은 다음과 같이 나타내어 집니다.

$$\tag{11} \begin{equation} e_{1}= N_{1}\dfrac{d\Phi_{m}}{dt} \end{equation}$$

식$(8)$에서 다음과 같습니다.

$$\tag{12} \begin{equation} \Phi_{m}=\dfrac{N_{1}}{\mathcal{R}}i_{m} \end{equation}$$

식$(11)$에 식$(12)$를 적용하면 식$(11)$은 다음과 같이 됩니다.

$$\tag{13} \begin{equation} e_{1}=\dfrac{N_{1}^{2}}{\mathcal{R}}\dfrac{di_{m}}{dt}= L_{m}\dfrac{di_{m}}{dt} \end{equation}$$

식$(13)$에서 $L_{m}$을 자화 인덕턴스라고 하고 다음과 같이 정의합니다.

$$\tag{14} \begin{equation} L_{m}=\dfrac{N_{1}^{2}}{\mathcal{R}} \end{equation}$$

손실 및 누설 자속과 함께 유한한 투자율을 고려하면 변압기의 모델은 이상 변압기가 다음과 같은 확장된 형태로 나타내어지게 됩니다.

실제 변압기의 등가 회로

앞에서 구한 등가회로의 각 요소를 페이서와 임피던스로 나타내기 위해서 누설 리액턴스를 다음과 같이 정의합니다.

$$\tag{15} \begin{equation} X_{l1}= w L_{l1} , \; X_{l2}= w L_{l2} \end{equation}$$

그리고 자화 리액턴스를 다음과 같이 정의합니다.

$$\tag{16} \begin{equation} X_{m}= w L_{m} \end{equation}$$

아래 그림은 앞의 모든 요소를 고려한 실제 변압기의 등가 회로입니다.