2단자망으로 전달되는 교류 순시 전력

2단자 회로망으로 전달되는 교류 순시 전력

위와 같이 전압, 전류의 양의 방향을 정의할 경우, 2단자망으로 전달되는 순시 전력(Instantaneous Power) 은 다음 식으로 표현될 수 있습니다.

$\tag{1} p(t)= v(t)i(t)$

위와 같이 정의되는 순시 전력에서 언급한 수동 부호 규약을 적용할 경우 이는 2단자 회로망으로 전달되는 전력 혹은 2단자망에서 소비하는 순시 전력으로 정의됩니다.

전압 전류를 각각 다음과 같이 표현할 수 있다고 가정합니다.

$\tag{2} \begin{align*} v(t) &= V_{\max}\cos(\omega t +\theta_{V}) \\[1ex] i(t) &= I_{\max}\cos(\omega t +\theta_{I}) \end{align*}$

식 $(2)$ 를 식 $(1)$ 에 적용하면 다음과 같습니다.

$\tag{3} \begin{align*} p(t) &= v(t)i(t) \\[1ex] &= V_{\max}I_{\max}\cos(\omega t +\theta_{V})\cos(\omega t +\theta_{I}) \end{align*}$

아래와 같이 삼각함수의 곱을 합으로 변경하는 공식을 상기합니다.

$\tag{4} \cos\theta_{A}\cos\theta_{B}=\dfrac{1}{2} \Big [ \cos(\theta_{A}+\theta_{B})+\cos(\theta_{A}-\theta_{B}) \Big]$

식 $(4)$ 를 식 $(3)$ 에 적용하면 식 $(3)$ 은 아래와 같이 변환됩니다.

$\tag{5} p(t)=\dfrac{1}{2}V_{\max}I_{\max}\Big[\cos(\theta_{V}-\theta_{I})+\cos(2\omega t +\theta_{V}+\theta_{I})\Big]$

위식에서 순시전력 상수부분과 $2w$ 의 주파수를 가지는 정현파 부분으로 구성되어 있다는 것을 알 수 있습니다.

$\tag{6} p(t)= p_{dc}(t)+ p_{ac}(t)$

식 $(6)$ 을 식 $(5)$ 에 적용하면 상수 부분 $p_{dc}(t)$ 는 다음과 같습니다.

$\tag{7} p_{dc}(t)=\dfrac{1}{2}V_{\max}I_{\max}\cos(\theta_{V}-\theta_{I})$

그리고 교류 부분 $p_{ac}(t)$ 는 다음과 같습니다.

$\tag{8} p_{ac}(t)=\dfrac{1}{2}V_{\max}I_{\max}\cos(2\omega t +\theta_{V}+\theta_{I})$

즉, 교류 시스템의 순시 전력은 식 $(7)$ 과 같은 직류 오프셋(Offset)부분과 식 $(8)$ 로 표현되는 주파수 $2w$ 의 교류의 합성파인 것을 알 수 있습니다.

아래 그림에 전압 및 전류의 파형과 이에 대응되는 순시 전력의 파형을 도시하였습니다. 순시 전력의 주파수는 전압 및 전류의 주파수의 2배이며, 평균값은 일반적으로 $0$ 이 아님을 알 수 있습니다.