Lecture 주파수 응답과 극점의 관계

변수

주파수 응답과 극점의 관계

• 표준 2차 제어시스템

$$\begin{align*} G_T (j \omega ) =& \frac{\omega^2_{n}}{(j \omega)^2+j2 a \omega_n \omega + \omega^2_n} \\ =& \frac{\omega^2_{n}}{ \omega^2_n - \omega^2 +j2 a \omega_n \omega} \end{align*}$$

$$\vert G_T (j \omega ) \vert = \frac{\omega^2_{n}}{\sqrt{(\omega^2_n -\omega^2_n )^2 +(2 a \omega_n \omega )^2}}$$

$$\angle{G_T (j \omega )} = - tan^{-1} ( \frac{2 a \omega_n \omega}{\omega^2_n - \omega^2} )$$

• 영주파수에서의 이득
  • 정상상태 이득을 의미한다.

공진 최고점 ( $M_r$ )

• 보드 크기 선도에서 최고 값을 가지는 점

$$\begin{align*} \frac{d G_T (j \omega )}{d \omega} = - \frac12 \frac{2(\omega^2_{n}-\omega^2 ) (-2\omega) + (2 a \omega_n )^2 2\omega}{((\omega^2_n -\omega^2 )^2 +(2 a \omega_n \omega )^2)^{\frac32}}=0 \end{align*}$$

$$(\omega^2_n - \omega^2)(-\omega)+2(a \omega_n)^2\omega =0$$

$$\omega^2_n - 2 a^2 \omega^2_n = \omega^2$$

$$\omega_r = \omega_n \sqrt{1-2 a^2}$$

$$\vert G_T (j \omega_r ) \vert = \frac{\omega^2_{n}}{\sqrt{(\omega^2_n -\omega^2_r )^2 +(2 a \omega_n \omega_r )^2}}$$

공진 주파수 ($\omega_r$: resonant frequency )

• 최고값을 가질때의 주파수 : $\omega_r = \omega_n \sqrt{1-2a^2}$

• 제동비가 0.707보다 크면 모든 주파수에서 $M_r$은 $M_0$보다 작다.

대역폭 ($\omega_{BW}$)

• 주파수가 0일 때의 크기로부터 3dB만큼 크기 보드 선도가 줄어들었을 때의 주파수

• $\vert G_T (j \omega ) \vert_{dB} = -3 dB$ 일때의 주파수 $\omega_{BW}$ 는 $\vert G_T (j \omega ) \vert = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 일 때이다.

$$\vert G_T (j \omega_{BW}) \vert = \frac{1}{\sqrt2}= \frac{\omega^2_{n}}{\sqrt{(\omega^2_n -\omega^2 )^2 +(2 a \omega_n \omega )^2}}$$

$$\begin{align*} \frac12 &= \frac{\omega^4_n}{(\omega^2_n - \omega^2)^2 +(2a \omega_n \omega)^2} \\ &= \frac{\omega^4_n}{\omega^4_n - 2\omega^2_n \omega^2 + \omega^4 + 4a^2 \omega^2_n \omega^2} \end{align*}$$

$${\omega^4_n - 2\omega^2_n \omega^2 + \omega^4 + 4a^2 \omega^2_n \omega^2} = 2 \omega^4_n$$

$${\omega^4_n + 2\omega^2_n (2a^2 -1) \omega^2 - \omega^4_n} = 0$$

$$\omega^2 = \omega^2_n ((1-2a^2) \pm \sqrt{4a^4 - 4a^2 +2})$$

$$\omega_{BW} = \omega_n \sqrt{(1-2a^2) + \sqrt{4a^4 - 4a^2 +2}}$$

• 대역폭은 고유주파수($\omega_n$)에 정비례하고, 감쇠비($a$)가 증가하면 감소한다.
  • $0$ 에서 $a \downarrow \Rightarrow \omega_{BW} \uparrow \Rightarrow M_r \uparrow$
  • 대역폭이 넓을수록 응답속도가 빠르다.
  • 대역폭은 근사적으로 시간영역에서 과도응답 특성을 나타내는 시정수의 역수에 해당한다.

차단주파수 ($\omega_{BW}$)

• 크기가 3dB떨어졌을 때의 주파수

차단율(분리도)

• 차단주파수에서의 이득 곡선의 기울기를 차단율이라 한다.
• 신호와 잡음을 분리하는 특성을 나타낸다.
  • 일반적으로 잡음신호는 고주파에서 에너지를 가지므로 차단율이 크면 잡음을 제거하는 성능이 좋아지지만 공진최대값을 동반하여 불안정하게 될 수 있다.

주파수 응답 예

$\omega_n = 10$, $\omega=1$인 경우 $a$의 변화에 대한 시스템 응답 (0.2:0.2:1)

$a = 0.2$, $\omega=1$인 경우 $\omega_n$의 변화에 대한 시스템 응답 (10:10:50)