강의노트 중거리 송전 선로의 4단자 정수 - π형 등가회로

$\pi$형 중거리 송전 선로 모델

중거리 송전 선로의 특성은 4단자 정수를 이용하면 쉽게 해석할 수 있습니다. 다음에 $\pi$ 등가 회로를 나타내었습니다.

직렬 임피던스 $\mathbf{Z}$ 로 흐르는 전류를 $\mathbf{I}_Z$ 라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{1} \mathbf{I}_Z= \mathbf{I}_R + \mathbf{I}_2$$

위 회로에서 $\mathbf{I}_2$는 다음과 같습니다.

$$\tag{2} \mathbf{I}_2 = \dfrac{\mathbf{Y}}{2} \mathbf{V}_R$$

따라서 $\mathbf{I}_Z$는 다음과 같습니다.

$$\tag{3} \mathbf{I}_Z= \mathbf{I_R}+\dfrac{\mathbf{Y}}{2} \mathbf{V}_R$$

송전단 전압

위의 그림과 같이 KVL을 적용하면 다음과 같은 송전단 전압 $\mathbf{V}_S$에 관한 식을 구할 수 있습니다.

$$\tag{4} \mathbf{V}_S = \mathbf{V}_R + \mathbf{Z} \, \mathbf{I}_Z$$

식$(4)$에 식$(3)$을 적용하면 위식은 다음과 같습니다.

$$\tag{5} \begin{align*} \mathbf{V}_S &= \mathbf{V}_R + \mathbf{Z} \, \mathbf{I}_Z \\[1ex] &= \mathbf{V}_R + \mathbf{Z} \left(\mathbf{I}_R+\dfrac{\mathbf{Y}}{2} \mathbf{V}_R\right) \end{align*}$$

정리하면 다음과 같은 송전단 전압 $\mathbf{V}_S$에 관한 식을 구할 수 있습니다.

$$\tag{6} \color{red} \mathbf{V}_S = \left(1+\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \right) \mathbf{V}_R+ \mathbf{Z}\, \mathbf{I}_R$$

송전단 전류

이제 송전단 전류에 관한 식을 구하기 위해 송전단 $\color{red} \mathrm s$ 점에 KCL을 적용하면 다음과 같은 송전단 전류에 관한 식을 구할 수 있습니다.

$$\tag{7} \begin{align*} \mathbf{I}_S & = \mathbf{I}_Y + \mathbf{I}_Z \\ &= \mathbf{I}_Y + \mathbf{I}_2 + \mathbf{I}_R \end{align*}$$

위 식에 각각의 전류값을 전압에 관한 식으로 대치하면 다음과 같습니다.

$$\tag{8} \mathbf{I}_S = \dfrac{\mathbf{Y}}{2} \mathbf{V}_S + \dfrac{\mathbf{Y}}{2} \mathbf{V}_R + \mathbf{I}_R$$

식$(8)$의 송전단 전압 $\mathbf{V}_S$에 식$(6)$을 대입하면 다음과 같습니다.

$$\tag{9} \mathbf{I}_S = \frac{\mathbf{Y}}{2}\left[\left(1+\frac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2}\right) \mathbf{V}_R + \mathbf{Z} \, \mathbf{I}_R \right]+\frac{\mathbf{Y}}{2} \mathbf{V}_R + \mathbf{I}_R$$

위 식을 정리하면 다음과 같은 송전단 전류에 관한 최종적인 식을 구할 수 있습니다.

$$\tag{10} \color{red} \mathbf{I}_S = \mathbf{Y} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{4}\right) \mathbf{V}_R +\left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2}\right) \mathbf{I}_R$$

$\pi$형 중거리 송전 선로의 4단자 정수

위에서 송전단 전압 관계식 $(6)$을 다음에 다시 나타내었습니다.

$$\tag{11} \mathbf{V}_S = \left(1+\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \right) \mathbf{V}_R + \mathbf{Z}\, \mathbf{I}_R$$

또한 위에서 송전단 전류 관계식$(10)$을 다음에 다시 나타내었습니다.

$$\tag{12} \mathbf{I}_S = \mathbf{Y} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{4}\right) \mathbf{V}_R + \left(1 + \dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2}\right) \mathbf{I}_R$$

위의 두 식$(11)$과 식$(12)$를 결합하여 행렬 형태로 나타내면 다음과 같습니다.

$$\tag{13} \begin{bmatrix} \mathbf{V}_S \\ \mathbf{I}_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} & \mathbf{Z} \\[1.5ex] \mathbf{Y} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{4} \right) & 1 + \dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{V}_R \\ \mathbf{I}_R \end{bmatrix}$$

따라서 중거리 선로의 $\pi \,$형 등가 회로의 4단자 정수는 다음과 같습니다.

$$\tag{14} \color{red} \begin{align*} A &= 1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \\ B &= \mathbf{Z} \\ C &= \mathbf{Y} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{4}\right) \\ D &= 1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \end{align*}$$