강의노트 4단자망 회로의 직렬 연결

다음 그림과 같이 2개의 4단자 회로망을 직렬로 연결하였을 경우에 대하여 알아봅니다.

왼쪽 회로망의 4단자 정수는 다음과 같습니다.

$$\tag{1} \begin{bmatrix}\mathbf{V}_ {S}\\ \mathbf{I}_ {S}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}A_1& B_1\\ C_1& D_1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\mathbf{V}_ 2\\ \mathbf{I}_ 2\end{bmatrix}$$

오른쪽 회로망의 4단자 정수는 다음과 같습니다.

$$\tag{2} \begin{bmatrix}\mathbf{V}_ 2\\ \mathbf{I}_ 2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}A_2& B_2\\ C_2& D_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\mathbf{V}_ {R}\\ \mathbf{I}_ {R}\end{bmatrix}$$

식$(1)$과 식$(2)$에서 각각의 회로망의 전송 행렬을 다음과 같이 정의합니다.

$$\tag{3} \begin{align*} \mathbb{T_1}= \begin{bmatrix}A_1& B_1\\ C_1& D_1\end{bmatrix} \\[2.5ex] \mathbb{T_2}=\begin{bmatrix}A_2& B_2\\ C_2& D_2\end{bmatrix} \end{align*}$$

그러면 식$(1)$과 식$(2)$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{4} \begin{align*} \begin{bmatrix}\mathbf{V}_ {S}\\ \mathbf{I}_ {S}\end{bmatrix} &= \mathbb{T_1} \begin{bmatrix}\mathbf{V}_ 2\\ \mathbf{I}_ 2\end{bmatrix} \\[2.5ex] \begin{bmatrix}\mathbf{V}_ 2\\ \mathbf{I}_ 2\end{bmatrix} &= \mathbb{T_2} \begin{bmatrix}\mathbf{V}_ {R}\\ \mathbf{I}_ {R}\end{bmatrix} \end{align*}$$

식$(4)$을 정리하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

$$\tag{5} \color{blue} \begin{bmatrix}\mathbf{V}_ {S}\\ \mathbf{I}_ S\end{bmatrix} = \mathbb{T_1}\begin{bmatrix}\mathbf{V}_ 2\\ \mathbf{I}_ 2 \end{bmatrix} = \mathbb{T_1}\mathbb{T_2}\begin{bmatrix}\mathbf{V}_ {R}\\ \mathbf{I}_ {R}\end{bmatrix}$$

식$(5)$에서 다음과 같이 정의합니다.

$$\tag{6} \color{red} \mathbb{T} = \mathbb{T_1}\mathbb{T_2}$$

식$(6)$을 식$(5)$에 적용하면 식$(5)$는 다음과 같습니다.

$$\tag{7} \begin{bmatrix}\mathbf{V}_ {S}\\ \mathbf{I}_ {S}\end{bmatrix}= \mathbb{T} \begin{bmatrix}\mathbf{V}_ R\\ \mathbf{I}_ R\end{bmatrix}$$

식$(7)$에서 전송 행렬 $\mathbb{T}$의 4단자 정수는 다음과 같이 정의합니다.

$$\tag{8} \mathbb{T}=\begin{bmatrix}A& B\\ C& D\end{bmatrix}$$

식$(7)$과 식$(8)$로 나타내어지는 전체 4단자 정수는 아래 그림의 회로와 같습니다.

식$(6)$에 식$(3)$을 대입하고 계산하면 다음과 같이 전체 회로망의 전송 행렬을 구할 수 있습니다.

$$\tag{9} \begin{align*} \mathbb{T} &= \begin{bmatrix}A_1& B_1\\ C_1& D_1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}A_2& B_2\\ C_2& D_2\end{bmatrix} \\[2ex] &=\begin{bmatrix}A_{1}A_{2}+ B_{1}C_{2}& A_{1}B_{2}+ B_{1}D_{2}\\ C_{1}A_{2}+ D_{1}C_{2}& C_{1}B_{2}+ D_{1}D_{2}\end{bmatrix} \end{align*}$$

따라서 전체 회로망의 4단자 정수는 다음과 같습니다.

$$\tag{10} \begin{split}A &= A_{1}A_{2}+ B_{1}C_{2} \\ B &= A_{1}B_{2}+ B_{1}D_{2} \\ C &= C_{1}A_{2}+ D_{1}C_{2} \\ D &= C_{1}B_{2}+ D_{1}D_{2}\end{split}$$