강의노트 3상 변압기 (Δ-Y 결선)의 1차측과 2차측의 전류 관계

결선도

아래 그림에 $\Delta -\mathrm{Y}$ 결선의 회로를 나타내었습니다. 1차측과 2차측의 평행하게 위치한 상이 서로 결합되어 있는 상입니다. 위 첨자 $'$은 2차측을 의미합니다. ${n'}$은 2차측의 중성점을 나타냅니다.

위의 회로에서 1차측과 2차측의 각 상의 전류는 다음과 같은 관계를 가집니다. $n$은 1차측 전압과 2차측 전압비를 의미합니다.

$$\tag{1} \begin{align} \mathbf{I}_ {a'} &= {\dfrac{\mathbf{I}_ {ab}}{n}} \\[2ex] \mathbf{I}_ {b'} &= {\dfrac{\mathbf{I}_ {bc}}{n}} \\[2ex] \mathbf{I}_ {c'} &= {\dfrac{\mathbf{I}_ {ca}}{n}} \end{align}$$

1차측과 2차측간의 전류 관계

위의 식$(1)$에서 나타낸 전류 관계는 1차측 선전류가 2차측 상전류에 결합되는 형태이므로 1차측 상전류와 2차측 상전류의 관계는 명확하지 않습니다. 따라서, 1차측 상전류와 2차측 상전류의 관계를 알아볼 필요가 있습니다.

위의 식$(1)$에서 한 상의 1차측과 2차측 전류 관계는 다음과 같습니다.

$$\tag{2} \mathbf{I}_ {a'} = \frac{\mathbf{I}_ {a b}}{ n}$$

1차측 $\Delta$ 결선의 $a$상에 KCL을 적용하면 상전류와 선전류 사이의 다음과 같은 관계를 구할 수 있습니다.

$$\tag{3} \begin{equation} \mathbf{I}_ {a}= \mathbf{I}_ {a b}- \mathbf{I}_ {c a} \end{equation}$$

식$(1)$에서 $\mathbf{I}_ {a b}$는 다음과 같습니다.

$$\tag{4} \begin{equation} \mathbf{I}_ {a b}= n \, \mathbf{I}_ {a'} \end{equation}$$

식$(1)$로부터 $\mathbf{I}_ {c a}$는 다음과 같습니다

$$\tag{5} \begin{equation} \mathbf{I}_ {c a}= n \, \mathbf{I}_ {c'} \end{equation}$$

식$(4)$와 식$(5)$를 식$(3)$에 적용하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{6} \begin{equation} \mathbf{I}_ {a}= \mathbf{I}_ {a b}- \mathbf{I}_ {c a}= n\left(\mathbf{I}_ {a'} - \mathbf{I}_ {c'} \right) \end{equation}$$

2차측 전류 $\mathbf{I}_ {a'}$, $\mathbf{I}_ {b'}$, $\mathbf{I}_ {c'}$ 와 $\mathbf{I}_ {a'} - \mathbf{I}_ {c'}$ 의 페이서도를 아래 그림에 나타내었습니다.

페이서도에서 알 수 있듯이 2차측 전류 $\mathbf{I}_ {a'} - \mathbf{I}_ {c'}$ 은 $\mathbf{I}_ {a}'$ 에 비해 크기가 $\sqrt{3}$배가 되고, 위상은 $30^\circ$, 즉, $\pi / 6 [\mathrm{rad}]$ 만큼 뒤지게 됩니다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

$$\tag{7} \begin{equation} \mathbf{I}_ {a'} - \mathbf{I}_ {c'} =\sqrt{3}\,e^{-j\frac{\pi}{6}}\mathbf{I}_ {a'} \end{equation}$$

식$(7)$을 식$(6)$에 적용하면 다음 식을 구할 수 있습니다.

$$\tag{8} \begin{equation} \mathbf{I}_ {a}=\sqrt{3}\,n\, e^{-j\frac{\pi}{6}}\mathbf{I}_ {a'} \end{equation}$$

앞에서 복소수 $\mathbf{K}$를 다음과 같이 정의하고, 이를 복소 전압 이득이라고 한 바 있습니다.

$$\tag{9} \begin{equation} \mathbf{K} =\sqrt{3}\,n\,e^{j\frac{\pi}{6}} \end{equation}$$

식$(9)$의 공액 복소수를 복소 전류 이득으로 다음과 같이 정의합니다.

$$\tag{10} \color{red} \begin{equation} \mathbf{K}^* =\sqrt{3}\,n\,e^{-j\frac{\pi}{6}} \end{equation}$$

식$(10)$을 식$(8)$에 적용하면 식$(8)$은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{11} \begin{equation} \mathbf{I}_ {a}= \mathbf{K}^* \mathbf{I}_ {a'} \end{equation}$$

따라서 다음과 같이 최종적인 관계식을 구할 수 있습니다.

$$\tag{12} \begin{equation} \mathbf{I}_ {a'} =\dfrac{\mathbf{I}_ {a}}{\mathbf{K}^*} \end{equation}$$

나머지 상에 대하여도 동일한 방법으로 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\tag{13} \begin{align} \mathbf{I}_ {b'} &=\dfrac{\mathbf{I}_ {b}}{\mathbf{K}^*} \\[2ex] \mathbf{I}_ {c'} &=\dfrac{\mathbf{I}_ {c}}{\mathbf{K}^*} \end{align}$$

따라서 전체 상에 대하여 다음과 같은 관계를 구할 수 있습니다.

$$\tag{14} \color{red} \begin{align} \mathbf{I}_ {a'} &=\dfrac{\mathbf{I}_ {a}}{\mathbf{K}^*} \\[2ex] \mathbf{I}_ {b'} &=\dfrac{\mathbf{I}_ {b}}{\mathbf{K}^*} \\[2ex] \mathbf{I}_ {c'} &=\dfrac{\mathbf{I}_ {c}}{\mathbf{K}^*} \end{align}$$

위의 결과를 페이서도로 나타내면 다음과 같습니다.