강의노트 3상 변압기 (Δ-Y 결선)의 1차측과 2차측의 전압 관계

결선도

아래 그림에 $\Delta -\mathrm{Y}$ 결선의 회로를 나타내었습니다. 1차측과 2차측의 평행하게 위치한 상이 서로 결합되어 있는 상입니다. 위 첨자 $'$은 2차측을 의미합니다. ${n'}$은 2차측의 중성점을 나타냅니다.

이때 각 상의 전압은 다음과 같은 관계를 가집니다. $n$은 1차측 전압과 2차측 전압의 비를 의미합니다.

$$\tag{1} \begin{align*} \mathbf{V}_ {a'n'}&= n \mathbf{V}_ {a b} \\ \mathbf{V}_ { b'n'}&= n \mathbf{V}_ {bc} \\ \mathbf{V}_ { c'n'}&= n \mathbf{V}_ {ca} \end{align*}$$

1차측과 2차측간의 전압 관계

위의 식$(1)$에서 나타낸 전압 관계는 1차측 선간 전압이 2차측 상전압에 결합되는 형태이므로 1차측 상전압과 2차측 상전압의 관계는 명확하지 않습니다. 따라서, 1차측 상전압과 2차측 상전압의 관계를 알아볼 필요가 있습니다.

식$(1)$에서 한 상만 보면 다음과 같습니다.

$$\tag{2} \mathbf{V}_ {a'n'}= n \mathbf{V}_ {a b}$$

$\Delta$ 결선에서 가상의 중성점 $n$이 존재한다고 가정할 때 선간 전압과 상전압의 관계는 다음 그림과 같습니다.

따라서 다음 관계를 알 수 있습니다.

$$\tag{3} \begin{equation} \mathbf{V}_ {a b}= \mathbf{V}_ {a n} - \mathbf{V}_ {b n} \end{equation}$$

식$(3)$를 식$(2)$에 적용하면 다음과 같습니다.

$$\tag{4} \begin{equation} \mathbf{V}_ {a'n'}= n \mathbf{V}_ {a b}= n\left(\mathbf{V}_ {a n}- \mathbf{V}_ {b n}\right) \end{equation}$$

식$(4)$에서 $\mathbf{V}_ {a b}$는 선간 전압이므로 상전압 $\mathbf{V}_ {a n}$에 비해서 크기가 $\sqrt{3}$ 배이고 위상이 $30^\circ$, 즉, $\pi / 6 [\mathrm{rad}]$ 만큼 앞서게 됩니다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

$$\tag{5} \begin{equation} \mathbf{V}_ {a b} = \mathbf{V}_ {a n} - \mathbf{V}_ {b n}=\sqrt{3}\,e^{j\frac{\pi}{6}}\mathbf{V}_ {a n} \end{equation}$$

식$(5)$를 식$(4)$에 대입하면 다음과 같습니다.

$$\tag{6} \begin{equation} \mathbf{V}_ {a'n'} = \sqrt{3}\,n\,e^{j\frac{\pi}{6}}\mathbf{V}_ {a n} \end{equation}$$

여기에서 복소수 $\mathbf{K}$를 다음과 같이 정의하고, 이를 복소 전압 이득이라고 합니다.

$$\tag{7} \color{red} \begin{equation} \mathbf{K} =\sqrt{3}\,n\,e^{j\frac{\pi}{6}} \end{equation}$$

식$(7)$의 정의를 적용하면 식$(6)$은 아래 식과 같이 표현됩니다.

$$\tag{8} \begin{equation} \mathbf{V}_ {a'n'}= \mathbf{K}\, \mathbf{V}_ {a n} \end{equation}$$

다른 상도 동일한 방법으로 구하면 다음과 같은 관계를 구할 수 있습니다.

$$\tag{9} \begin{align} \mathbf{V}_ {b'n'} &= \mathbf{K} \, \mathbf{V}_ {b n} \\ \mathbf{V}_ {c'n'} &= \mathbf{K} \, \mathbf{V}_ {c n} \end{align}$$

따라서 최종적인 3상 변압기의 관계는 다음과 같습니다.

$$\tag{10} \color{red} \begin{align} \mathbf{V}_ {a'n'} &= \mathbf{K} \, \mathbf{V}_ {a n} \\ \mathbf{V}_ {b'n'} &= \mathbf{K} \, \mathbf{V}_ {b n} \\ \mathbf{V}_ {c'n'} &= \mathbf{K} \, \mathbf{V}_ {c n} \end{align}$$

위의 결과를 페이서도로 나타내면 다음과 같습니다.

$\Delta -\mathrm{Y}$ 변압기의 중요한 특성

$\Delta -\mathrm{Y}$ 변압기의 중요한 특성은 권선비 $n$인 경우 1차측과 2차측의 전압비가 $\sqrt{3}n$ 이고 2차측의 위상각이 1차측에 비해 $30^\circ$ 진상으로 된다는 것입니다.