전선의 이도와 온도

문제 전선의 이도와 온도

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온도가 $t[^\circ\mathrm{C}]$ 상승했을 때의 딥(dip)은 몇 $[\mathrm{m}]$ 인가? 단, 온도 변화 전의 딥을 $D_{1}[\mathrm{m}]$ , 경간을 $s[\mathrm{m}]$ 전선의 온도 계수를 $\alpha$ 라 한다.

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$\sqrt{D_{1} + \frac{3}{8} \alpha \cdot t \cdot s}$

$\sqrt{D_{1}^{2} + \frac{3}{8} \alpha \cdot t \cdot s^{2}}$

$\sqrt{D_{1}^{2} + \frac{3}{8} \alpha \cdot t^{2} \cdot s}$

$\sqrt{D_{1}^{2} - \frac{3}{8} \alpha^{2} \cdot t \cdot s}$

해설

온도 상승 이전의 길이를 $L_1$ , 온도 상승 이후의 길이를 $L_2$ 라고 하면 다음 관계를 만족합니다.

$\tag{1} L_2 = L_1 + \alpha t L_1$

온도 계수 $\alpha$ 가 작은 값이고 경간의 길이와 전선의 길이는 큰 차이가 나지 않으므로 다음과 같이 가정하더라고 큰 오차가 생기지 않습니다.

$\tag{2} \alpha t L_1 \simeq \alpha t s$

위의 조건식 $(2)$ 를 식 $(1)$ 에 적용하면 다음 관계를 구할 수 있습니다.

$\tag{3} L_2 = L_1 + \alpha t s$

전선의 길이는 다음과 같은 식으로 표현됩니다. 식에서 $k=1,2$ 입니다.

$\tag{4} L_k = s + \frac{8D_k^2}{3s}$

식 $(4)$ 를 식 $(3)$ 에 적용하면 다음과 같은 관계식을 구할 수 있습니다.

$s + \frac{8D_2^2}{3s} = s + \frac{8D_1^2}{3s} + \alpha t s$

위의 식을 정리하면 다음과 같습니다.

$D_2^2 = D_1^2 + \frac{3}{8}\alpha t s^2$

따라서 다음과 같은 결과를 구할 수 있습니다.

$D_2 = \sqrt{ D_1^2 + \frac{3}{8}\alpha t s^2 }$

정답 2

문제 전선의 이도와 온도