강의노트 단거리 송전 선로의 송전단 전압과 수전단 전압의 관계

아래 그림과 같은 단거리 송전 선로의 송전단 전압과 수전단 전압의 관계식은 다음과 같습니다.

$$\tag{1} \mathbf{V}_S = \mathbf{V}_R + \mathbf{I}\mathbf{Z}$$

수전단 전압의 위상을 기준 위상으로 $0$으로 가정하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. 식에서 $\mathbf{V}_R$은 페이서이고 $V_R$은 실효값입니다.

$$\tag{2} \mathbf{V}_R = V_R \phase {\,0^\circ} = V_R$$

수전단에 연결된 부하의 역률이 $\cos\theta$ 라고 하면 수전단 전압의 위상을 기준 위상 (즉, 위상값 = $0$)으로 할 때 지상 전류(위상이 기준 전압에 대하여 뒤지는 전류)가 흐르므로 선로 전류는 다음과 같습니다.

$$\tag{3} \mathbf{I} = I e^{-j \theta } = I \left(\cos\theta - j \sin\theta \right)$$

단거리 송전 선로의 임피던스는 다음과 같이 저항과 리액턴스의 직렬 회로로 표현됩니다.

$$\tag{4} \mathbf{Z} = {R + jX}$$

식$(1)$에 식$(2) \sim (4)$를 적용하여 다음과 같은 식을 유도할 수 있습니다.

$$\tag{5} \begin{split} \mathbf{V}_S &= \mathbf{V}_R + \mathbf{I}\mathbf{Z} \\[0.5ex] &= {V}_R + {I}\left(\cos\theta - j \sin\theta \right) \left({R + jX} \right) \end{split}$$

단거리 송전 선로의 벡터도를 다음과 같이 나타낼 수 있고 이로부터 단거리 송전 선로의 송전단 전압을 알 수 있습니다.

식$(5)$를 정리하면 다음과 같은 관계를 구할 수 있습니다.

$$\tag{6} \begin{split} \mathbf{V}_S &= {V}_R + {I}\left(R\cos\theta + X\sin\theta \right) \\[0.5ex] &\,+ \, j{I}\left({X\cos\theta - R\sin\theta } \right) \end{split}$$

식$(6)$의 실수부와 허수부를 각각 $V_S^R$, $V_S^I$라고 하면, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. $\mathrm{Re}$ 는 실수부 취하는 것을 의미하고, $\mathrm{Im}$ 은 허수부를 취하는 것을 의미합니다.

$$\tag{7} \begin{split} V_S^R &= \mathrm{Re} [ \mathbf{V_S}] \\[0.5ex] V_S^I &= \mathrm{Im} [ \mathbf{V_S}] \end{split}$$

식$(7)$에 식$(6)$을 적용하면 ${V}_S^R$ 과 ${V}_S^I$ 는 각각 다음과 같습니다.

$$\tag{8} \begin{align*} {V}_S^R &= {V}_R + {I}\left(R\cos\theta + X\sin\theta \right) \\[1ex] {V}_S^I &= {I}\left({X\cos\theta - R\sin\theta } \right) \end{align*}$$

따라서 식$(6)$은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{9} \mathbf{V}_S = {V}_S^R + j {V}_S^I$$

$| \mathbf{V}_S | = V_S$ 이며, 이는 다음과 같습니다.

$$\tag{10} {V}_S = \sqrt{{{V}_S^R}^2 + {{V}_S^I}^2 }$$

위의 벡터도에서 $\mathbf{V}_S$만을 표시하면 다음 그림과 같습니다.

위 그림에서 $|\mathbf{V}_S |$(즉, $V_S$)와 $V_S^R$은 거의 같음을 알 수 있습니다. 즉, $V_S$를 $V_S^R$로 근사화해도 오차가 별로 크지 않습니다. 따라서 식$(6)$에서 $V_S^I$항을 무시하면 다음과 같은 근사식을 구할 수 있습니다.

$${V}_S \simeq V_S^R = {V}_R + {I}\left(R\cos\theta + X\sin\theta \right)$$

따라서 단거리 송전 선로의 송전단 전압과 수전단 전압의 관계는 다음과 같이 근사적으로 나타낼 수 있습니다.

$$\color{red} {V}_S = {V}_R + {I}\left(R\cos\theta + X\sin\theta \right)$$