강의노트 단위법

단위법의 개요

전력 시스템에는 다양한 크기와 용량의 기기들이 존재하며, 여러 가지 전압이 계층적으로 혼재되어 있습니다. 결과적으로 수치적으로 넓은 범위의 전압 및 전류 값들이 존재하여 이들을 함께 다룰 때 여러 가지 어려움이 생기게 됩니다.

이러한 문제의 훌륭한 해결책으로서 전력시스템의 여러 변수들을 일정한 기준 값으로 정규화(Normalization)하는 기법이 널리 쓰이고 있으며 이를 단위법(Per Unit Method) 혹은 PU법이라고 합니다.

단위법의 정의

단위법을 적용하려면 다음 식과 같이 단위 값으로 변환하려는 변수의 기준 값(Base Value)를 선정하여 실제 값으로 나누어주면 됩니다. 단위값의 단위는 $\color{red}[\mathrm{pu}]$입니다.

$${ \small \color{red} \mathsf{단위값} =\dfrac{\mathsf{실제값}}{\mathsf{기준값}} }$$

예를 들어 단위법으로 나타낸 임피던스는 다음과 같습니다. 아래 첨자 $\color{red} \mathrm{pu}\,$는 단위값임을 의미하고, 아래 첨자 $\color{red} B\,$는 기준값을 의미합니다.

$$Z_{\mathrm{pu}} = \dfrac{{Z}}{{Z_B}}$$

위 식에서 각 기호의 의미는 다음과 같습니다.

• $Z_{\mathrm{pu}}$ : 임피던스 단위값 $([\mathrm{pu}])$
• $Z$ : 임피던스 실제값 $([\Omega])$
• $Z_B$ : 임피던스 기준값 $([\Omega])$

기준값의 선정

전압, 전류, 임피던스, 전력 등에 대하여 기준 값을 선정하여 단위 값을 정의할 수 있습니다.

이때, 기준 값을 선정하는 기준은 다음과 같습니다.

• 실제 변수와 단위법으로 표현한 변수는 동일한 물리적인 관계를 만족해야 한다.
• 다른 조건이 없을 경우 정격 값을 기준값으로 선정한다.

임피던스 기준값 $Z_B$는 다음과 같이 전압, 전류 및 전력과 연관됩니다. 식에서 아래 첨자 $\color{red} B\,$는 기준값을 의미하고, 아래 첨자 $\color{red} n\,$은 정격 값을 의미합니다.

$$\boxed{ Z_{B} = \dfrac{{E_B}}{{I_B}} = \dfrac{{E_n}}{{I_n}} = \dfrac{E_n^2}{S_n^\phi} = \dfrac{V_n^2}{S_n} }$$

위 식에서 각 기준값은 다음과 같이 정격값으로 잡습니다.

• $E_B = E_n$ : 정격 상전압
• $V_B = V_n$ : 정격 선간 전압
• $I_B = I_n$ : 정격 선전류
• $S_B^\phi = S_n^\phi$ : 상당 정격 피상 전력
• $S_B = S_n$ : 3상 정격 피상 전력

단위법을 이용한 단락 전류 계산

앞에서 옴법을 이용한 단락 전류 계산식은 다음과 같습니다.

$$\tag{1} I_S = \frac{E}{Z_S}$$

사고 이전의 정상 운전시 정격 전압과 전류의 관계는 다음과 같습니다.

$$\tag{2} I_n = \frac{E_n}{Z_n}$$

식$(2)$로 식$(1)$을 변변 나누면 다음과 같습니다.

$$\tag{3} \frac{I_S}{I_n} = \frac{\dfrac{E}{Z_S}}{\;\;\dfrac{E_n}{Z_n}\;\;} = \frac{\dfrac{E}{E_n}}{\;\;\dfrac{Z_S}{Z_n}\;\;}$$

단위법의 정의로부터

$$\tag{4} \begin{align*} I_S^{\mathrm{pu}} &= \dfrac{I_S}{I_n} = \dfrac{I_S}{I_B} \\ E_{\mathrm{pu}} &= \dfrac{E}{E_n} = \dfrac{E}{E_B} \\ Z_S^{\mathrm{pu}} &= \dfrac{Z_S}{Z_n} = \dfrac{Z_S}{Z_B} \end{align*}$$

따라서 식$(3)$은 다음과 같습니다.

$$\tag{5} I_S^{\mathrm{pu}} = \frac{E_{\mathrm{pu}}}{Z_S^{\mathrm{pu}}}$$

통상 전압은 정격 전압으로 유지되므로 $E=E_n \,$로 잡을 수 있습니다. 따라서 $E_{\mathrm{pu}} = 1\,$이고, 식$(5)$는 다음과 같습니다.

$$\tag{6} \color{red} I_S^{\mathrm{pu}} = \frac{1}{Z_S^{\mathrm{pu}}}$$

앞의 식$(4)$중 전류 단위값 정의 식을 상기하면 다음과 같습니다.

$$\tag{7} I_S^{\mathrm{pu}}=\dfrac{I_S}{I_n}$$

식$(7)$을 식$(6)$에 적용하면 식$(6)$은 다음과 같이 됩니다.

$$\tag{8} \color{red} I_S = \frac{1}{Z_S^{\mathrm{pu}}} I_n$$

단위법을 이용한 단락 용량 계산

단락 용량은 다음과 같이 구해집니다.

$$\tag{9} S_S = 3 E I_S$$

기준값은 다음과 같은 전력과 전압 및 전류의 관계를 가집니다.

$$\tag{10} S_B = 3 E_B I_B$$

이를 위식에 변변 나누면 다음과 같은 관계를 구할 수 있습니다.

$$\tag{11} \frac{S_S}{S_B} = \frac{E}{E_B} \frac{I_S}{I_B}$$

이것은 단위법의 정의에 의해 다음과 같은 단위값들간의 관계로 변환됩니다.

$$\tag{12} S_S^{\mathrm{pu}} = E_{\mathrm{pu}} I_S^{\mathrm{pu}}= E_{\mathrm{pu}} \left( \frac{E_{\mathrm{pu}}}{Z_S^{\mathrm{pu}}} \right) = \frac{E_{\mathrm{pu}}^2}{Z_S^{\mathrm{pu}}}$$

통상 전압은 정격 전압으로 유지되므로 $E=E_n \,$로 잡을 수 있습니다. 따라서 $E_{\mathrm{pu}} = 1\,$이고, 위식은 다음과 같이 됩니다.

$$\tag{13} \color{red} S_S^{\mathrm{pu}} = \frac{1}{Z_S^{\mathrm{pu}}}$$

정의에 의하여

$$\tag{14}S_S^{\mathrm{pu}} = \frac{S_S}{S_n}$$

이므로 다음과 같은 식을 구할 수 있습니다.

$$\tag{15} \color{red} S_S = \frac{1}{Z_S^{\mathrm{pu}}} S_n$$

단위법 해석의 장점

전력 공학 해석에 있어서 단위법은 다음과 같은 장점이 있어 많이 사용됩니다. 유사한 특징이 $\%$임피던스법에도 그대로 적용됩니다.

• 변압기가 소거되고 리액턴스 성분으로 표시되기 때문에 회로 해석을 간단하게 할 수 있게 해준다.
• 3상 전력과 단상전력의 단위값은 동일하고 상전압과 선간 전압도 단위값으로 동일하다.