문제 전기 공급 방식별 공급 전력

단상 2선식의 공급 전력 과 3상 3선식의 공급 전력을 각각 $P_1$, $P_3$ 이라고 하면 선간 전압이 동일하므로 다음 관계를 만족합니다. 각 식에서 아래 첨자 $1$은 단상 2선식을 의미하고, 아래 첨자 $3$은 3상 3선식을 의미합니다.

$$\begin{split} P_{1} &= VI_1\cos\theta \\ P_{3} &= \sqrt 3 VI_3\cos\theta \end{split}$$

위 식에서 전압과 역률은 동일하므로, 각 방식의 전류를 구하면 공급 전력비를 구할 수 있습니다.

각각의 전선 중량을 $W_1$, $W_3$라고 하면 다음의 관계를 가집니다. 아래 식에서 $\sigma$는 전선의 밀도, $l$은 전선의 길이, $A$는 전선의 단면적을 의미합니다.

$$\begin{split} W_1 &= 2 \sigma A_1 l \\ W_3 &= 3 \sigma A_3 l \end{split}$$

문제의 조건에서 전선의 중량이 동일하므로 $W_1=W_3$이며, 이로부터 다음 관계를 알 수 있습니다.

$$\frac{A_3}{A_1} = \frac{2}{3}$$

전선의 단면적과 저항간은 반비례 관계에 있으므로 (즉, $R \sim \dfrac{1}{A}$) 다음 관계를 구할 수 있습니다.

$$\frac{A_3}{A_1} = \frac{2}{3} = \frac{R_1}{R_3}$$

각각의 선로 손실을 $P_{l1}$, $P_{l3}$라고 하면 다음의 관계를 가집니다.

$$\begin{split} P_{l1} &= 2 I_1^2 R_1 \\ P_{l3} &= 3 I_3^2 R_3 \end{split}$$

선로의 손실이 동일하므로 $P_{l1}=P_{l3}$이며, 이로부터 다음 관계를 구할 수 있습니다.

$$\left ( \frac{I_1}{I_3} \right )^2 = \frac{3R_3}{2R_1} = \left ( \frac{3}{2} \right )^2$$

이 결과를 이용하여 공급 전력비는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\frac{P_{1}}{P_{3}} = \frac{VI_1\cos\theta}{\sqrt 3 VI_3\cos\theta } = \frac{I_1}{\sqrt 3 I_3} = \frac{1}{\sqrt 3} \left(\frac{I_1}{ I_3} \right ) = \frac{\sqrt 3}{2}$$