상태 변수 추정기 (관측기)

상태 변수 추정기(관측기)

상태 변수 피드백 제어기를 구성하려면 모든 상태 변수가 측정 가능해야함
모든 상태 변수를 측정 → 비용이 너무 비쌈
모든 상태 변수를 집적 측정하지 않고 상태 변수를 추정하기 위해 사용 입력 신호, 출력 신호, 그리고 시스템의 동적 특성에 대한 정보를 이용하여 시스템의 상태 변수를 추정

$\hat X$ : 추정된 상태 변수를 의미

상태 변수 추정기의 상태 변수 $\hat X$ 는 상태 변수 x에 수렴

$\tag{1} \begin{cases} \dot X=AX+BU \\ Y=CX \end{cases}$

$\tag{2} \begin{cases} \dot {\hat X}=A \hat X+BU \\ \hat Y=C \hat X \end{cases}$

원하는 관측기의 출력이 원래의 시스템의 출력과의 차이가 없어야 함으로 관측기의 출력과 실제 출력의 차이를 관측기에 추가한 시스템은 (3)과 같다.

$\tag{3} \begin{cases} \dot {\hat X}=A \hat X+B U + L(Y-\hat Y) \\ \hat Y=C \hat X \end{cases}$

(1)에서 (3)을 빼면

$\begin{cases} \dot X- \dot{\hat X}=A(X-\hat X)-L(Y-\hat Y) \\ Y-\hat Y=C(X-\hat X) \end{cases}$

$\dot X-\dot{\hat X}=A(X-\hat X)-LC(X-\hat X)=(A-LC)(X-\hat X)$

$E=X-\hat X$ 로 하면

$\tag{4} \dot E=(A-LC)E$

오차 상태 변수 E의 특성방정식은 $|sI-(A-LC)|=0$ 이 되고 그리고 근의 위치에 따라 빠르게 혹은 느리게 수렴한다.

⇒ 일반적으로 시스템의 우세극점의 위치(원 시스템의 특성방정식의 근)보다 허수축으로부터 10배 떨어진 거리에 있도록 설계

$E \to 0$ 수렴하는 속도는 $A-LC$ 행렬의 고유값의 위치에 의해서 결정된다. 왼쪽으로 먼 위치에 있을수록 오차의 수렴 속도가 빠르다.

$\hat{X(t)} \to X(t)$ , $t \to \infty$ 를 만족하는 $A_e$ , $B_e$ , $L$ 을 구하는 과정을 말한다.
$A_e=A-LC$ 의 모든 고유값이 왼쪽 평면에 위치하도록 $L$ 을 정하여 $E \to 0$ 이 되도록 한다.
$A-LC$ 행렬이 가져야 할 고유값 $(\beta_1, \beta_2, \ldots , \beta_n)$ 들의 위치를 정하는 방법은 원 시스템의 우세극점의 위치보다 허수축으로부터 10배 떨어진 거리에 있도록 설계한다.

$\alpha_e(s) =(s-\beta_1)(s-\beta_2)\ldots(s-\beta_n) \\ =s^n+\alpha_{n-1}s^{n-1}+\ldots+\alpha_1s+\alpha_0=0$

$|sI-(A-LC)|=0$ 을 만족하는 $L$ 을 결정한다. $L$ 을 결정하기 위해 액커만 공식을 사용한다. 하지만, 액커만 공식은 $C$ 의 위치의 행렬의 값을 구하는 공식이므로 약간의 변환이 필요하다.

$A-LC$ 행렬식에 전치를 취하면

$(A-LC)^t=(A^t-C^tL^t)$

액커만 공식은 $|sI-(A-BK)|=0$ 을 만족하는 K행렬을 구하는 것이기 때문에 액커만에 입력해야 할 변수는 $A^t, C^t$ 를 입력하면 $L^t$ 의 값을 얻게 된다. 그러므로,

$L^t=\begin{bmatrix}0&0&\ldots &0&1\end{bmatrix}(M_o^t)^{-1}\alpha_e(A^t)$

$M_o^t=\begin{bmatrix}C^t &C^tA^t& C^t(A^t)^2 & \ldots & C^t(A^t)^{n-1} \end{bmatrix}$

$\alpha_e(A) = A^n+\alpha_{n-1}A^{n-1}+\ldots +\alpha_nA + \alpha_0I$

$L=\alpha_e(A) (M_o)^{-1} {\begin{bmatrix} 0& 0& \ldots & 0 & 1 \end{bmatrix} }^t$