Lecture 근궤적 그리기

근궤적 그리는 방법

예제를 통해서 근궤적을 그리는 방법을 살펴본다.

개루프 전달함수가 (1)과 같다.

$$\tag{1} G(s)H(s) = \dfrac{k(s+6)}{(s+2)(s+4)(s+10)}$$

1. 근궤적의 분기수

근궤적의 궤적의 숫자는 개루프 전달함수 분모의 차수와 같다. (1)의 분모의 차수가 3이므로 근궤적은 3개의 분기를 갖고 있다.

2. 극점과 영점구하기

극점과 차수 : 분모식=0을 만족하는 점들과 차수

$$(s+2)(s+4)(s+10)=0 \Rightarrow s = -2, -4, -10$$

분모의 차수는 3차이다. $n = 3$

영점과 차수 : 분자식 = 0을 만족하는 점들과 차수

$$s + 6 = 0 \Rightarrow s = -6$$

유한한 영점은 6 하나이므로 무한대에 두개의 영점이 존재한다.

분자의 차수는 1이다. $m = 1$

• 근궤적은 개루프 전달함수(플랜트)의 극점에서 시작($K = 0$)한다.
• $K \to \infty$일 때 근궤적은 개루프 전달함수의 영점으로 접근한다.

3. 실수축 상의 근궤적

실수축 위에 근궤적에 포함되는 구간은 구간의 오른쪽에 있는 개루프 전달함수의 극점, 혹은 영점의 갯수의 합이 홀수이면 근궤적에 포함된다.

예에서 실수 축위의 극점과 영점은 왼쪽부터 -10, -6, -4, -2가 된다.

-2의 오른쪽에는 극점이나 영점이 없기 때문에 -2의 오른쪽 구간은 근궤적에 포함되지 않는다.

-2에서 -4의 구간의 오른쪽에는 극점(-2)이 하나가 있으므로 이 구간은 근궤적에 포함된다.

-4에서 -6의 구간의 오른쪽에는 극점(-2, -4) 두 개(짝수)가 있어서 이 구간은 근궤적에 포함되지 않는다.

-6에서 -10의 구간의 오른쪽에는 극점(-2,-4)와 영점(-6)이 있어서 총 3개(홀수)가 되어 이 구간은 근궤적에 포함된다.

-10의 왼쪽 구간의 오른쪽에 있는 극점(-2,-4,-10)과 영점(-6)의 갯수는 4개(짝수)이므로 이 구간은 근궤적에 포함되지 않는다.

4. 점근선

근궤적이 수렴해 가는 선으로 x축과의 교점($\sigma$)과 이 점에서의 각도($\theta_i$)가 있으면 반직선을 그릴 수 있다.

4-1) 교차점

점근선의 x축과의 교차점을 $\sigma$로 명명한다. $\sigma$는 식(2)와 같이 계산된다.

$$\tag{2} \sigma = \dfrac{\sum G(s)H(s)의 극점 - \sum G(s)H(s)의 영점}{n-m}$$

$$\sigma = \dfrac{(-10 - 4 -2)- (-6)}{3-1} = -5$$

4-2) 점근선 각도

점근선의 각도는 식(3)으로 계산한다.

$$\tag{3} \theta_i = \dfrac{(2i+1)180}{n-m}$$

$$\begin{cases} i = 0 ; \theta_0 = \frac{180}{3-1} = 90 \\ i = 1 ; \theta_1 = \frac{3 \times 180}{3-1} = 270 \\ i = 2 ; \theta_2 = \frac{5 \times 180}{3-1} = 450\end{cases}$$

$\theta_0$과 $\theta_2$는 한바퀴를 돌아서 다시 반복된다. 그러므로, $\theta_0 = \theta_2$이므로 더 이상 계산할 필요가 없다.

5. 출발각과 도착각

근궤적의 출발각과 도착각은 다음 식을 만족해야 한다.

$$\angle GH(s) = 180^\circ + \alpha \cdot 360^\circ$$

5-1) 출발각

극점에서 출발하는 각도를 의미한다.

$s = -10$인 경우

$$\angle(GH(-10)) = \angle(-10+6)- [\angle(-10+2)+\angle(-10+4)+\theta_{-10}]=180^\circ + \alpha \cdot 360^\circ$$

$$180^\circ - ( 180^\circ + 180^\circ + \theta_{-10} ) = 180 + \alpha 360^\circ$$

$$\theta_{-10} = 180 + 180 + \alpha 360 \Rightarrow \theta_{-10} = 0^\circ$$

$s = -4$인 경우

$$\angle(GH(-4)) = \angle(-4+6)- [\angle(-4+2)+\theta_{-4}+\angle(-4+10)]=180^\circ + \alpha \cdot 360^\circ$$

$$0^\circ - ( 180^\circ + \theta_{-4}+ 0^\circ ) = 180 + \alpha 360^\circ$$

$$\theta_{-4} = 180 + 180 + \alpha 360 \Rightarrow \theta_{-4} = 0^\circ$$

$s = -2$인 경우

$$\angle(GH(-2)) = \angle(-2+6)- [\theta_{-2}+\angle(-2+4)+\angle(-2+10)]=180^\circ + \alpha \cdot 360^\circ$$

$$0^\circ - (\theta_{-2}+ 0^\circ + 0^\circ ) = 180 + \alpha 360^\circ$$

$$\theta_{-2} = -180 + \alpha 360 \Rightarrow \theta_{-2} = 180^\circ$$

5-2) 도착각

영점으로 들어가는 각도를 의미한다. 도착각에서 영점으로 들어가는 각도이다.

$s = -6$인 경우

$$\angle(GH(-6)) = \theta_{-6}- [\angle(-6+2)+\angle(-6+4)+\angle(-6+10)]=180^\circ + \alpha \cdot 360^\circ$$

$$\theta_{-6} - (180^\circ + 180^\circ + 0^\circ ) = 180 + \alpha 360^\circ$$

$$\theta_{-6} = 180 + \alpha 360 \Rightarrow \theta_{-6} = 180^\circ$$

6. 이탈점

근궤적이 실수축을 이탈하는 점과 인입하는 점은 식(4) 혹은 식(5)를 만족해야한다.

$$\tag{4} \dfrac{d}{ds} \left( G(s)H(s) \right) = 0$$

혹은,

$$\tag{5} \sum_{i = 1}^n \dfrac{1}{(p_i - \sigma)} = \sum_{j=1}^m \dfrac{1}{(z_j - \sigma)}$$

$$\dfrac{d}{ds}\left( \dfrac{(s+6)}{(s+2)(s+4)(s+10)} \right) = \dfrac{1\times(s+2)(s+4)(s+10)-(s+6)(3s^2+32s+68)}{((s+2)(s+4)(s+10))^2}=0$$

$$s^3+16s^2+68s+80 - 3s^3-50s^2-260s-408 = 0$$

$$2s^3 + 34s^2 + 192s + 328 = 0$$

$$s = -6.95 + j2.15, -6.95 - j2.15, -3.10j$$

7. 임계안정조건

근궤적이 허수축과 만날때의 이득($K$)은 Routh표를 이용하여 임계안정조건을 구할 수 있다.

예는 모든 근궤적이 s-평면 좌반부에 위치하므로 안정한 시스템이다.

8. 근궤적 위의 점에서 이득 값의 계산.

근궤적 위에 있는 임의의 점에 대한 이득 $K = - \dfrac{1}{GH(s)}$을 이용

9. 근궤적은 실수축을 중심으로 대칭이다. 실수축을 중심으로 위아래가 대칭이다.

위 시스템의 근궤적은 다음과 같다.