Problem 장거리 송전 선로의 송전단 전류

송전 선로의 식은 다음과 같습니다.

$$\color{red} \begin{align*} \mathbf{V}_S &= \mathbf{V}_R \cosh \gamma \ell + \mathbf{I}_R \mathbf{Z}_0 \sinh \gamma \ell \\ \mathbf{I}_S &= \mathbf{I}_R \cosh \gamma \ell + \frac{\mathbf{V}_R}{\mathbf{Z}_0} \sinh \gamma \ell \end{align*}$$

위 식에서 각 기호의 의미는 다음과 같습니다.

• $\mathbf{V}_S$ : 송전단 전압(상전압)
• $\mathbf{V}_R$ : 수전단 전압(상전압)
• $\mathbf{Z}_0$ : 특성 임피던스
• $\gamma$ : 전파 정수
• $\ell$ : 송전선로의 길이

송전 선로의 수전단을 개방하면 위의 식에서 $\mathbf{I}_R = 0\,$이 되고, 위의 식은 다음과 같이 됩니다.

$$\begin{align*} \mathbf{V}_S &= \mathbf{V}_R \cosh \gamma \ell \\ \mathbf{I}_S &= \frac{\mathbf{V}_R}{\mathbf{Z}_0} \sinh \gamma \ell \end{align*}$$

위의 첫번째 식에서

$$\mathbf{V}_R = \frac{ \mathbf{V}_S}{ \cosh \gamma \ell}$$

이것을 위의 두번째 식에 대입하면

$$\begin{align*} \mathbf{I}_S &= \frac{ \mathbf{V}_R}{ \mathbf{Z}_0} \sinh \gamma \ell \\[2ex] &= \frac{1}{ \mathbf{Z}_0} \left(\frac{ \mathbf{V}_S}{ \cosh \gamma \ell} \right) \sinh \gamma \ell \\[3ex] &= \frac{1}{ \mathbf{Z}_0}\frac{\sinh \gamma \ell}{ \cosh \gamma \ell}\, \mathbf{V}_S \\[3ex] &= \frac{1}{ \mathbf{Z}_0}\tanh \gamma \ell\, \mathbf{V}_S \end{align*}$$

전파정수의 정의는 다음과 같습니다.

$$\gamma = \sqrt{\mathbf{z} \mathbf{y}}$$

위 식에서 $\gamma \ell \,$은 전파정수의 정의로부터 다음과 같습니다.

$$\gamma \ell = \sqrt{\mathbf{z}\mathbf{y}}\, \ell$$

위 식에서 총 임피던스는 단위길이당 임피던스 $z$, $y\,$에 길이 $\ell\,$을 곱한 값이므로

$$\mathbf{Z} = \mathbf{z}\,\ell \,,\; \mathbf{Y} = \mathbf{y}\,\ell$$

따라서 $\gamma \ell \,$은 전파정수의 정의로부터 다음과 같습니다.

$$\gamma \ell = \sqrt{\mathbf{z}\mathbf{y}}\, \ell = \sqrt{\mathbf{z}\ell \mathbf{y}\ell} = \sqrt{\mathbf{Z}\mathbf{Y}}$$

비슷한 방법으로 특성 임피던스는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\mathbf{Z}_0 = \sqrt{\frac{\mathbf{z}}{\mathbf{y}}} = \sqrt{\frac{\mathbf{z} \ell}{\mathbf{y} \ell}} = \sqrt{\frac{\mathbf{Z}}{\mathbf{Y}}}$$

위의 전파정수와 특성 임피던스의 식을 앞의 식에 대입하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

$$\begin{align*} \mathbf{I}_S &= \frac{1}{\mathbf{Z}_0}\tanh \gamma \ell\, \mathbf{V}_S \\[3ex] &= \sqrt{\frac{\mathbf{Y}}{\mathbf{Z}}} \tanh \sqrt{\mathbf{Z}\mathbf{Y}}\, \mathbf{V}_S \end{align*}$$