강의노트 중거리 송전 선로의 4단자 정수 - T형 등가회로

$\mathrm{T}$형 중거리 송전 선로 모델

$\mathrm{T}$형 등가 회로는 선로의 병렬 서셉턴스를 하나의 직렬 요소로 나타내고, 총 임피던스를 선로의 송전단 및 수전단에 절반씩 분배하여 집중 정수회로 형태로 모델링하는 것으로서 다음 그림과 같이 나타내어집니다.

$\mathrm{T}$ 형 등가 회로의 4단자 정수도 앞과 유사한 방법을 이용하여 구할 수 있습니다.

송전단 전류

위의 회로에서 송전단 전류는 다음과 같습니다.

$$\tag{1} \mathbf{I}_ {S}= \mathbf{I}_ {Y}+ \mathbf{I}_ {R}$$

회로의 병렬 어드미턴스 $\mathbf{Y}$의 전류 $\mathbf{I}_Y$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{2} \mathbf{I}_ {Y}= \mathbf{Y}\, \mathbf{V}_ {Y}$$

병렬 어드미턴스 $\mathbf{Y}$의 전압 $\mathbf{V}_Y$은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\tag{3} \mathbf{V}_ {Y}= \mathbf{V}_ {R}+\dfrac{ \mathbf{Z}}{2} \,\mathbf{I}_ {R}$$

식$(2)$과 식$(3)$를 이용하면 식$(1)$은 다음과 같습니다.

$$\tag{4} \begin{align*} \mathbf{I}_ {S} &= \mathbf{I}_ {Y}+ \mathbf{I}_ {R} \\[1ex] &= \mathbf{Y} \mathbf{V}_ {Y}+ \mathbf{I}_ {R} \\[1ex] &= \mathbf{Y}\left(\mathbf{V}_ {R}+\dfrac{\mathbf{Z}}{2}\mathbf{I}_ {R}\right)+ \mathbf{I}_ {R} \end{align*}$$

위 식을 정리하면 다음과 같이 송전단 전류를 구할 수 있습니다.

$$\tag{5} \color{red} \mathbf{I}_ {S}= \mathbf{Y}\mathbf{V}_ {R}+\left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2}\right)\mathbf{I}_ {R}$$

송전단 전압

위의 회로에 KVL을 적용하면 다음과 같은 관계를 구할 수 있습니다.

$$\tag{6} \mathbf{V}_ {S}=\dfrac{\mathbf{Z}}{2}\mathbf{I}_ {S}+ \mathbf{V}_ {Y}$$

식$(3)$을 적용하면 식$(6)$은 다음과 같이 됩니다.

$$\tag{7} \mathbf{V}_ {S} = \dfrac{\mathbf{Z}}{2}\mathbf{I}_ {S}+\dfrac{\mathbf{Z}}{2}\mathbf{I}_ {R}+ \mathbf{V}_ {R}$$

식$(7)$에 식$(5)$를 적용하면 다음과 같습니다.

$$\tag{8} \mathbf{V}_ {S}=\dfrac{\mathbf{Z}}{2}\left[\mathbf{Y}\mathbf{V}_ {R}+\left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2}\right)\mathbf{I}_ {R}\right]+\dfrac{\mathbf{Z}}{2}\mathbf{I}_ {R}+ \mathbf{V}_ {R}$$

위 식을 정리하면 다음과 같은 송전단 전압에 관한 식을 구할 수 있습니다.

$$\tag{9} \color{red} \mathbf{V}_ {S}=\left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2}\right)\mathbf{V}_ {R}+ \mathbf{Z} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{4}\right)\mathbf{I}_ {R}$$

$\mathrm{T}$형 중거리 송전 선로의 4단자 정수

위에서 구한 송전단 전류 관계식 $(5)$를 다음에 다시 나타내었습니다.

$$\tag{10} \mathbf{I}_ {S}= \mathbf{Y}\mathbf{V}_ {R}+\left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2}\right)\mathbf{I}_ {R}$$

또한 위에서 구한 송전단 전압 관계식 $(9)$를 다음에 다시 나타내었습니다.

$$\tag{11} \mathbf{V}_ {S}=\left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2}\right)\mathbf{V}_ {R}+ \mathbf{Z} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{4}\right) \mathbf{I}_ {R}$$

위의 두 식$(10)$과 식$(11)$을 결합하여 행렬 형태로 나타내면 다음과 같습니다.

$$\tag{12} \begin{bmatrix} \mathbf{V}_S \\ \mathbf{I}_S \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} & \mathbf{Z} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{4}\right)\\[2ex] \mathbf{Y} & 1 + \dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{V}_R \\ \mathbf{I}_R \end{bmatrix}$$

따라서 중거리 선로의 $\mathrm{T}$형 등가 회로의 4단자 정수는 다음과 같습니다.

$$\color{red} \begin{align*} A &= 1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \\ B &= \mathbf{Z} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{4}\right) \\ C &= \mathbf{Y} \\ D &= 1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \end{align*}$$