강의노트 장거리 송전 선로

미소구간에 대하여 KVL과 KCL을 적용하여 미분 방정식을 작성하여 풀이하여 송전 선로의 식을 구합니다.

송전 선로의 식

아래의 식을 송전 선로의 식이라고 합니다.

$$\begin{align*} \mathbf{V_S} &= \mathbf{V_R} \cosh \gamma \ell + \mathbf{I_R} \mathbf{Z_0} \sinh \gamma \ell \\ \mathbf{I_S} &= \frac{\mathbf{V_R}}{\mathbf{Z_0}} \sinh \gamma \ell + \mathbf{I_R} \cosh \gamma \ell \end{align*}$$

위 식에서 각 기호의 의미는 다음과 같습니다.

• $\mathbf{V_S}$ : 송전단 전압(상전압)
• $\mathbf{V_R}$ : 수전단 전압(상전압)
• $\mathbf{I_S}$ : 송전단 전류
• $\mathbf{I_R}$ : 수전단 전류
• $\mathbf{Z_0}$ : 특성 임피던스
• $\gamma$ : 전파 정수
• $\ell$ : 송전선로의 길이

중거리 송전 선로와 동일하게 선로의 총 직렬 임피던스와 병렬 어드미턴스는 다음과 같이 정의됩니다.

송전선로의 총 임피던스

$$\begin{split} \mathbf{Z} &= \mathbf{z} \ell \\ &= \left( r + j x \right) \ell \\ &= \left( r + j \omega l \right) \ell \\ &= R + j X \, [\Omega] \end{split}$$

• $\mathbf{z}$ : 선로의 단위 길이당$(\mathrm{m})$ 직렬 (복소) 임피던스
• $x$ : 선로의 단위 길이당 직렬 리액턴스 $( = \omega l )$
• $l$ : 선로의 단위 길이당 직렬 인덕턴스
• $r$ : 선로의 단위 길이당 직렬 저항
• $\ell$ : 송전 선로의 길이
• $X$ : 선로의 총 직렬 리액턴스
• $R$ : 선로의 총 직렬 저항
• $\mathbf{Z}$ : 선로의 총 직렬 (복소) 임피던스

송전선로의 총 어드미턴스

$$\begin{split} \mathbf{Y} &= \mathbf{y} \ell \\ &= \left ( g + j b \right ) \ell \\ &= \left ( g + j \omega c \right ) \ell \\ &= G+ j B\,[\mho] \end{split}$$

• $\mathbf{y}$ : 선로의 단위 길이당$(\mathrm{m})$ 병렬 (복소) 어드미턴스
• $g$ : 선로의 단위 길이당 컨덕턴스
• $b$ : 선로의 단위 길이당 서셉턴스 $( = \omega c )$
• $c$ : 선로의 단위 길이당 커패시턴스
• $\ell$ : 송전 선로의 길이
• $G$ : 선로의 총 컨덕턴스
• $B$ : 선로의 총 서셉턴스
• $\mathbf{Y}$ : 선로의 총 (복소) 병렬 어드미턴스

특성 임피던스

특성 임피던스의 정의

송전 선로의 식에서 특성 임피던스는 다음과 같이 정의됩니다.

$$\color{red} \mathbf{Z_0} = \sqrt{\frac{\mathbf{z}}{\mathbf{y}}} = \sqrt{\frac{r + j\omega l}{g + j\omega c} } \,\,[\Omega]$$

선로 전체 임피던스와 어드미턴스로 나타낸 특성 임피던스

앞의 선로의 총 직렬 임피던스와 총 병렬 어드미턴스를 이용하여 특성 임피던스를 나타낼 수 있습니다. 앞에서 다음과 같은 선로 총 임피던스와 어드미턴스의 관계를 정의하였습니다.

$$\begin{align*} \mathbf{Z} &= \mathbf{z} \ell = r\ell + j x\ell = R + j X \\ \mathbf{Y} &= \mathbf{y} \ell = g\ell + j b\ell = G+ j B \end{align*}$$

다음과 같이 선로의 총 직렬 임피던스및 병렬 어드미턴스와 특성 임피던스의 관계를 구할 수 있습니다.

$$\begin{align*} \mathbf{Z_0} &= \sqrt{\frac{\mathbf{z}}{\mathbf{y}}} = \sqrt{\frac{\mathbf{z \ell}}{\mathbf{y \ell}}} = \sqrt{\frac{\mathbf{Z}}{\mathbf{Y}}} \\ &= \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C} }\,\,[\Omega] \end{align*}$$

따라서 다음과 같이 선로의 총 직렬 임피던스와 병렬 어드미턴스로부터 특성 임피던스를 구할 수 있습니다.

$$\color{red} \mathbf{Z_0} = \sqrt{\frac{\mathbf{Z}}{\mathbf{Y}}} = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j\omega C} }\,\,[\Omega]$$

무손실 선로의 특성 임피던스

무손실 선로의 특성 임피던스는 위식에서 $R=G=0$ 로 하면 다음과 같습니다.

$$\color{red} Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}} \,[\Omega]$$

무손실 선로의 특성 임피던스 $Z_0$는 양의 실수라는 사실을 알 수 있습니다.

전파 정수

전파 정수의 정의

송전 선로의 식에서 나타나는 또 하나의 파라미터는 다음과 같이 정의되는 전파 정수입니다.

$$\color{red} \begin{align*} \gamma &= \sqrt{\mathbf{z}\mathbf{y}} \\ &= \sqrt{\left(r + j\omega l\right)\left( g + j\omega c \right) } \\ &= \alpha +j\beta \,[\mathrm{rad}] \end{align*}$$

위의 식에서 각 기호의 의미는 다음과 같습니다.

• $\alpha$ : 감쇄 정수
• $\beta$ : 위상 정수

무손실 선로의 전파 정수

무손실 선로의 전파 정수는 위식에서 $r=g=0$ 로 하면 다음과 같습니다.

$$\color{red} \gamma = \sqrt{\mathbf{z}\mathbf{y}} = j\omega \sqrt{lc} \,[\mathrm{rad}]$$

여기에서

$$\begin{align*} \alpha &= 0 \\ \beta &= \omega \sqrt{lc} \end{align*}$$

따라서 무손실 선로의 감쇄 정수는 0이고, 전파 정수는 양의 실수가 됩니다.

선로 전체 임피던스와 어드미턴스로 나타낸 특성 임피던스

앞의 선로의 총 직렬 임피던스와 총 병렬 어드미턴스를 이용하여 특성 임피던스를 나타낼 수 있습니다. 앞에서 다음과 같은 선로 총 임피던스와 어드미턴스의 관계를 정의하였습니다.

$$\begin{align*} \mathbf{Z} &= \mathbf{z} \ell = r\ell + j x\ell = R + j X \\ \mathbf{Y} &= \mathbf{y} \ell = g\ell + j b\ell = G+ j B \end{align*}$$

다음과 같이 선로의 총 직렬 임피던스및 병렬 어드미턴스와 전파 정수의 관계를 구할 수 있습니다.

$$\begin{align*} \gamma \ell &= \sqrt{\mathbf{z}\mathbf{y}} \ell \\ &= \sqrt{\mathbf{z} \ell\mathbf{y} \ell} \\ &= \sqrt{\mathbf{Z}\mathbf{Y}} \\ &= \sqrt{\left(R + j\omega L\right)\left( G + j\omega C \right)} \,\,[\mathrm{rad}] \end{align*}$$

따라서 다음과 같이 선로의 총 직렬 임피던스와 병렬 어드미턴스로부터 전파 정수를 구할 수 있습니다.

$$\color{red} \gamma \ell = \sqrt{\mathbf{Z}\mathbf{Y}} = \sqrt{\left(R + j\omega L\right)\left( G + j\omega C \right)} \,\,[\mathrm{rad}]$$

무손실 선로인 경우 $R=G=0$ 이므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\color{red} \gamma \ell = j\omega \sqrt{LC} \,\,[\mathrm{rad}]$$

특성 임피던스의 측정

송전 선로의 말단에서 다음과 같은 시험을 통하여 송전 선로의 중요한 파라미터인 총 병렬 어드미턴스와 총 직렬 임피던스를 구할 수 있습니다.

• 개방 시험 : $\mathbf{Y}$
• 단락 시험 : $\mathbf{Z}$