강의노트 중거리 송전 선로의 4단자 정수

중거리 송전 선로 모델

중거리 송전 선로의 특성은 4단자 정수를 이용하면 쉽게 해석할 수 있습니다. 다음에 $\pi$ 등가 회로를 나타내었습니다.

직렬 임피던스 $\mathbf{Z}$로 흐르는 전류를 $\mathbf{I_Z}$ 라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$\mathbf{I_Z}= \mathbf{I_R}+\dfrac{\mathbf{Y}}{2} \mathbf{V_R}$$

송전단 전압

전압 $\mathbf{V_S}$에 관한 식을 구하기 위해 4단자망에 KVL을 적용하면 다음과 같은 식을 구할 수 있습니다.

$$\mathbf{V_S}= \mathbf{V_R}+ \mathbf{Z} \left(\mathbf{I_R}+\dfrac{\mathbf{Y}}{2} \mathbf{V_R}\right)$$

정리하면 다음과 같은 송전단 전압에 관한 식을 구할 수 있습니다.

$$\mathbf{V_S} = \left(1+\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \right) \mathbf{V_R}+ \mathbf{Z} \mathbf{I_R}$$

송전단 전류

이제 송전단 전류에 관한 식을 구하기 위해 송전단에 KCL을 적용하면 다음과 같은 식을 구할 수 있습니다.

$$\mathbf{I_S}=\dfrac{\mathbf{Y}}{2} \mathbf{V_S} + \dfrac{\mathbf{Y}}{2} \mathbf{V_R} + \mathbf{I_R}$$

정리하면 다음과 같습니다.

$$\mathbf{I_S} = \frac{\mathbf{Y}}{2}\left\{\left(1+\frac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2}\right) \mathbf{V_R} + \mathbf{Z} \mathbf{I_R} \right\}+\frac{\mathbf{Y}}{2} \mathbf{V_R} + \mathbf{I_R}$$

다시 한번 정리하면 다음과 같은 송전단 전류에 관한 최종적인 식을 구할 수 있습니다.

$$\mathbf{I_S} = \mathbf{Y} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{4}\right) \mathbf{V_R} +\left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2}\right) \mathbf{I_R}$$

중거리 송전 선로의 4단자 정수

위에서 송전단 전압 관계식을 다음과 같이 구했습니다.

$$\mathbf{V_S} = \left(1+\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \right) \mathbf{V_R}+ \mathbf{Z} \mathbf{I_R}$$

또한 위에서 송전단 전류 관계식을 다음과 같이 구했습니다.

$$\mathbf{I_S} = \mathbf{Y} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{4}\right) \mathbf{V_R} + \left(1 + \dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2}\right) \mathbf{I_R}$$

위의 두 식을 행렬 형태로 나타내면 다음과 같습니다.

$$\begin{bmatrix} \mathbf{V_S} \\ \mathbf{I_S} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} & \mathbf{Z} \\ \mathbf{Y} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{4} \right) & 1 + \dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{V_R} \\ \mathbf{I_R} \end{bmatrix}$$

따라서 중거리 선로의 $\pi \,$형 등가 회로의 4단자 정수는 다음과 같습니다.

$$\color{red} \begin{align*} A &= 1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \\ B &= \mathbf{Z} \\ C &= \mathbf{Y} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{4}\right) \\ D &= 1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \end{align*}$$

T형 중거리 송전 선로 모델의 4단자 정수

위와 같은 $\mathrm{T}$ 형 등가 회로의 4단자 정수도 위와 유사한 방법을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\color{red} \begin{align*} A &= 1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \\ B &= \mathbf{Z} \left(1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{4}\right) \\ C &= \mathbf{Y} \\ D &= 1 +\dfrac{\mathbf{Z} \mathbf{Y}}{2} \end{align*}$$