강의노트 지상제어기 설계 - 예제

지상제어기 설계

1. 개루프 전달함수가 $GH(s) = \dfrac{k}{s(s+10)^{2}}$이다. 성능명세에서 속도오차상수는 20$[s^{-1}]$, 정정시간 1초이하 그리고 감쇠비는 0.707이다.

답) 속도오차상수 $k_v = \lim_{s \to 0} sGH(s) = \lim_{s \to 0} \left( s\dfrac{k}{s(s+10)^2}\right) = 20$

$$k = 2000$$

근궤적에서 감쇄계수가 0.707이므로 $\sin \theta = 0.707$

$$y = \tan^{-1} (0.707) \times (3.026) = 2.0144$$

2. 보상전과 보상후의 제동비는 0.206으로 한다. 정상상태 오차가 보상전에 비해 10배로 줄이도록 제어기를 설계하여라. $\dfrac{1}{(s+1)(s+3)(s+15)}$

설계) lag_02.py 시스템 G에 대한 근궤적을 그리고 제동비 0.206에 해당하는 각도에 해당하는 선을 근궤적위에 그린다. 근궤적과 선과의 교차점 $p = -1.067+j5.067$과 이때의 이득 $K_u = 409$일때의 정상상태 오차를 계산한다. 이득 409일때의 시스템 응답은 다음과 같다. 정상상태 오차는 10%이다.

정상상태가 10배 줄이도록 $\alpha$를 계산한다.

$$1$$

위의 식에서 $K_s = 4455$, 그러므로 $\alpha = \dfrac{K_s}{K_u} = \dfrac{4455}{409} = 10.89$가 된다.

$b$점은 $p$의 x축의 값의 0.1배 $b = 0.107$로 정했다. $a = \dfrac{b}{\alpha} = \dfrac{0.107}{10.89}=0.0098$로 정한다. 제어기는

$$D(s) = \dfrac{s+b}{s+a} = \dfrac{s+0.107}{s+0.0098}$$

제어기를 적용한 시스템 응답은 다음과 같다.

3. 해바리기 시스템$\left( \dfrac{1}{s(s+20)} \right)$을 지상 제어기로 보상, 보상후 특성이 다음과 같도록 제어기를 설계하여라. 램프 입력에 대한 정상상태 오차 0.01이하, 최대 오버슛 5%이하, 정착 시간 0.5초 이하.

설계 lag_03.py) 오버슛으로부터 감쇄계수를 구한다. $a = 0.69$

감쇄계수와 정정시간으로부터 고유주파수를 구한다. $\omega = 9.27$

감쇄계수와 주파수로 원하는 시스템의 극점을 구한다. $p = -6.4 \pm 6.7j$

플랜트의 근궤적과 원하는 시스템 극점을 같이 표시한 그래프다. 시스템의 원하는 극점의 원점에서의 연장선과 근궤적의 만나는 극점의 이득($K_u = 209$)가 된다.

보상전 시스템 응답

그리고 정상상태 오차가 0.01이 되도록 $K_s=2000$으로

$\alpha = \dfrac{K_s}{K_u} = \dfrac{2000}{209} = 9.57$이다.

$b$원하는 극점의 실수 값보다 10배 작은 값으로 세팅한다. $b = 0.64$

$a$는 $a = \dfrac{b}{\alpha} = \dfrac{0.64}{9.57} = 0.067$로 설정한다.

지상제어기는 $D(s) = \dfrac{s+b}{s+a} = \dfrac{s+0.64}{s+0.067}$이 되고 이를 적용한 시스템의 응답은 다음과 같다.

보상 전과 보상 후의 오차 그래프는 다음과 같다.

4. 안테나 위치 제어 시스템$\left( \dfrac{0.08}{s(s+1.32)(s+150)} \right)$을 지상 제어기로 보상한다. 보상전$\cdot$보상후에는 최대 오버슛이 16%, 램프 입력에 대한 정상상태 오차는 보상전에 비해 10배 정도 줄이도록 제어기를 설계하여라.