강의노트 나이퀴스트 안정도 판별법

나이퀴스트 안정도 판별법

개루프 시스템

• $N_{Z0}$ : s-평면에서 폐곡선이 감싸는 $G(s)$의 영점의 개수 ( $\Gamma$를 일주하는 방향과 같은 방향으로 영점의 개수만큼 원점을 감싼다. 여기서는 +로 한다. )

• $N_{P0}$ : s-평면에서 폐곡선이 감싸는 $G(s)$의 극점의 개수 ($\Gamma$를 일주하는 방향과 반대 방향으로 극점의 개수만큼 원점을 감싼다. 여기서는 -로 한다.)

• $N_0$ : $G(s)$ -평면에서 폐곡선이 원점을 감싸는 횟수. $N_0 = N_{z0} + N_{p0}$ 는 $\Gamma$를 일주하는 방향과 같은 방향으로 감쌀때를 +로 한다.

• 개루프 전달함수 : $G(s) = \dfrac{G_N(s)}{G_D(s)}$

• $N_{P0}$가 영이면 개루프 안정하다.

• $N_{Z0}$ : $G_N(s)$를 영으로 보내는 값을 알고

• 나이퀴스트 선도가 원점을 감싸는 횟수$N_0$는 나이퀴스트 선도로부터 알 수 있고

• $N_{P0} = N_{0}- N_{Z0}$의 수식에 의해 $N_{P0}$ 의 개수를 알 수 있다.

• $N_{P0}$가 영이 아니면 RHP에 근이 존재하는 것이므로 시스템은 발산한다.

단위 피드백 시스템

• 폐루프 제어시스템 : $\dfrac{Y(s)}{U(s)} = \dfrac{G(s)}{1+G(s)}$

• 폐루프 시스템의 안정도는 특성 방정식 $1+G(s)=0$이 오른쪽 평면(RHP)에 가지는 근의 개수에 의해 결정된다.

• $N_{Z-1}$, $N_{P-1}$와 $N_{-1}$ 는 $1+G(s)$의 영점, 극점과 나이퀴스트 선도가 원점을 감싸는 횟수이다.

• $N_{Z0}$, $N_{P0}$와 $N_{0}$ 는 $G(s)$의 영점, 극점과 나이퀴스트 선도가 원점을 감싸는 횟수이다.

• $1+G(s)$의 극점은 $G(s)$의 극점과 같다. 그러므로, $N_{P-1}=N_{P0}$이다.

• $1+G(s)$의 나이퀴스트 선도를 그린다.

• $N_{Z-1}=N_{-1}-N_{P-1}$로부터 $N_{Z-1}$을 구한다.

• 폐루프 시스템의 안정하기 위해서는 $N_{Z-1}$의 값이 “$0$”이어야 함

나이키스트 선도의 장점

• 나이퀴스트 선도를 그림에 있어서

  • $1+G(s)$ 의 궤적보다 $G(s)$의 궤적을 그리는 것이 편하다.
  • $1+G(s)$이 0을 감싸는 횟수와 $G(s)$의 -1을 감싸는 횟수는 같다

• 나이퀴스트 판별법은 개루프전달함수 $G(s)$의 궤적을 그려서 –1을 감싸는 횟수로부터 폐루프 시스템의 안정도를 판별한다