강의노트 안정도 여유

안정도 여유

상대 안정도

• 안정한 시스템 중에 더 많이 안정한 시스템이 있고 덜 안정한 시스템이 있음

이득 여유(gain margin)

• 폐루프 시스템의 특성방정식은 $G(s) +1 = 0$이므로 $G(s) = -1$ 혹은 $\mid G(s) \mid = 1 \quad \angle{G(s)}= 180^\circ$ 이다.
• $\angle G(j\omega_p)=-180^\circ$을 만족하는 위상을 위상교차주파수$\omega_p$라한다. 이때의 이득을 이득여유라 한다.

$$\begin{aligned} GM &= 0dB - {\begin{vmatrix} GH(j\omega_p)\end{vmatrix}}_{dB} \\ &= 20 \log _{10} 1 - 20 \log _{10} \begin{vmatrix} GH(j\omega_p)\end{vmatrix} \\ &= 20 \log _{10} \dfrac{1}{\begin{vmatrix} GH(j\omega_p)\end{vmatrix}} \end{aligned}$$

• 폐루프 시스템이 불안정한 경계에 이를때까지 추가될 수 있는 이득

위상 여유(phase margin)

• 개루프 전달함수의 크기 $\vert G(j\omega_g) \vert = 1$일때의 주파수를 게인교차주파수$\omega_g$라하며

$$PM = \gamma = \angle {G(j\omega_g)}+180^\circ$$

• 폐루프 시스템이 불안정한 경계에 이를때까지 추가될 수 있는 위상여유를 말한다.

• 안정한 시스템 : 양의 게인 여유, 양의 위상 여유

• 불안정한 시스템 : 음의 게인 여유, 음의 위상 여유

불안정한 시스템

• 이득 여유와 위상여유는 음의 값을 가짐

벡터 여유

• 임계점($-1+j0$)에서 가장 가까운 Nyquist궤적 까지의 거리

$$\alpha_{min} = \min \begin{vmatrix} 1+ GH(j\omega) \end{vmatrix}= \min \dfrac{1}{\begin{vmatrix} 1+ GH(j\omega) \end{vmatrix}} = \dfrac{1}{\max \begin{vmatrix} 1+ GH(j\omega) \end{vmatrix}}$$