강의노트 정상상태오차의 정의

정의

정상상태오차

정상상태 오차란 정상상태($\lim_{t \to \infty}y(t)$)에서의 입력과 출력의 차이이다.

폐루프 제어시스템에서는 정상상태에서의 목표값과 제어량과의 차가 정상상태 오차가 된다.

기준입력과 주귀환량과의 차, 즉 동작신호(제어편차) $E(s)$는 식(1)과 같다.

$$\begin{aligned} E(s) &= R(s) - H(s)Y(s) \\ &=R(s) - H(s)G(s)E(s) \end{aligned}$$

$$(1+G(s)H(s))E(s) = R(s)$$

$$\tag{1} E(s) = \dfrac{1}{1+G(s)H(s)}R(s)$$

정상상태 오차는 시간이 무한대로 갔을때의 동작신호가 된다.

$$\tag{2} \lim_{t \to \infty}e(t) = \lim_{s \to 0}sE(s) = \lim_{s \to 0} s \dfrac{1}{1+G(s)H(s)}R(s)$$

입력의 종류에 따른 정상상태 오차

단위계단입력에 대한 정상상태오차

계단입력에 대한 정상상태 오차는 식(3)과 같다. 여기서 $k_p$는 위치상수라 한다.

$$\tag{3} \begin{aligned} e_ss &= \lim_{t \to \infty}e(t) = \lim_{s \to 0}sE(s)\\ &= \lim_{s \to 0} s \dfrac{1}{1+G(s)H(s)}\dfrac{1}{s} = \lim_{s \to 0} \dfrac{1}{1+G(s)H(s)} \\ &= \dfrac{1}{1+\lim_{s \to 0}G(s)H(s)} = \dfrac{1}{1+k_p}\end{aligned}$$

$$k_p = \lim_{s \to 0}G(s)H(s)$$

램프입력에 대한 정상상태오차

램프입력에 대한 정상상태 오차는 식(4)와 같다. 여기서 $k_v$는 속도상수라 한다.

$$\tag{4} \begin{aligned} e_{ss} &= \lim_{t \to \infty}e(t) = \lim_{s \to 0}sE(s)\\ &= \lim_{s \to 0} s \dfrac{1}{1+G(s)H(s)}\dfrac{1}{s^2} = \lim_{s \to 0} \dfrac{1}{s+sG(s)H(s)} \\ &= \dfrac{1}{\lim_{s \to 0}sG(s)H(s)} = \dfrac{1}{k_v}\end{aligned}$$

$$k_v = \lim_{s \to 0} sG(s)H(s)$$

포물선입력에 대한 정상상태오차

포물선입력에 대한 정상상태 오차는 식(5)와 같다. 여기서 $k_a$는 가속도상수라 한다.

$$\tag{5} \begin{aligned} e_{ss} &= \lim_{t \to \infty}e(t) = \lim_{s \to 0}sE(s)\\ &= \lim_{s \to 0} s \dfrac{1}{1+G(s)H(s)}\dfrac{1}{s^3} = \lim_{s \to 0} \dfrac{1}{s^2+s^2G(s)H(s)} \\ &= \dfrac{1}{\lim_{s \to 0}s^2G(s)H(s)} = \dfrac{1}{k_a}\end{aligned}$$

$$k_a = \lim_{s \to 0} s^2G(s)H(s)$$