Lecture 9) 코시의 편각 원리

코시의 편각 원리(Cauchy's Principle of the Arguments)

벡터표현

• (B-A)는 점A에서 점B까지 가는 벡터를 표현

포함

• 어느 영역이 포함되어있는 곳인가? A 혹은 B

• 기준은 영점인 경우 시계방향으로 움직이면서 오른쪽이 포함되고 극점인 경우 반시계방향 움직이면서 왼쪽이 포함된다. (우리가 정하는 것임)

편각의 원리

• s-평면 위의 임의의 폐곡선($\Gamma$)($G(s)$의 영점이나 극점을 지나지 않음)을 정의
• 변수 s가 곡선($\Gamma$)을 따라서 움직임
• $G(s)=s-s_0$ 를 곡선($\Gamma$)의 모든 점(s)에대하여 계산
• G(s)도 G(s)-평면 위에서 폐곡선을 따라서 움직임 → 폐곡선($\Gamma$))를 만듬

$s_o=1+j1$ $s_1=-1+j1$

× 엑셀 보조화일 → 영점, 극점 s0가 폐곡선($\Gamma$) 영역내에 포함 → 폐곡선($\Gamma$) (0,0)→(0,1)→(0,2)→(1,2)→(2,2)→(2,1)→(2,0)→(1,0)→(0,0) 시계방향으로 회전

→ 폐곡선($\Gamma$) (0,2)→(1,2)→(2,2)→(3,2)→…→(3,-2)→…→(-1,-2)→…→(-1,2)→(0,2), 시계방향으로 회전 →$s_0=1+j1$; $s_1= 2-j1$; $s_2 =-2+j1$; $s_3=-3$

$(s-s_o)(s-s_1)$ $\dfrac{1}{(s-s_o)(s-s_1)}$ $(s-s_2)(s-s_3)$ $\dfrac{1}{(s-s_2)(s-s_3)}$

• $\Gamma$ 곡선이 감싸는 $G(s)$의 극점과 영점의 개수와 나이퀴스트 선도가 G(s)-평면에서 원점을 감싸는 횟수와 관계있다.

$$N_Z + N_P = N$$

• $N_Z$ : s-평면에서 폐곡선($\Gamma$)이 감싸는 $G(s)$영점의 개수 (양(+)의 값을 가짐)
• $N_P$ : s-평면에서 폐곡선($\Gamma$)이 감싸는 $G(s)$극점의 개수 (음(-)의 값을 가짐)
• $N$ : $G(s)$-평면에서 나이퀴스트 선도가 원점을 감싸는 횟수