Lecture 관측 가능 표준형

시스템이 식(1)과 같이 표현된다.

$$\tag{1} \dfrac{d^ny(t)}{dt^n} + a_{n-1}\dfrac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}} +\ldots  + a_1\dfrac{dy(t)}{dt} + a_0y(t) = \\b_{n-1}\dfrac{d^{n-1}u(t)}{dt^{n-1}} + b_{n-2}\dfrac{d^{n-2}u(t)}{dt^{n-2}} +\ldots  + b_1\dfrac{du(t)}{dt} + b_0u(t)$$

이를 전달함수로 표현하면 식(2)와 같아진다.

$$\tag{2} G(s) = \dfrac{Y(s)}{U(s)}= \dfrac{b_{n-1}s^{n-1}+b_{n-2}s^{n-2}+ \ldots +b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_1s+a_0}$$

식(2)를 관측 가능 표준형으로 표현하기 위해 식(3)과 같이 식(2)를 크로스로 곱한다.

$$\tag{3} (s^n+a_{n-1}s^{n-1} + \ldots +a_1s+a_0)Y(s)=(b_{n-1} s^{n-1}+b_{n-2}s^{n-2}+ \ldots +b_1s+b_0)U(s)$$

식(3)에서 s가 없는 항을 왼쪽에 나머지를 오른쪽으로 옮기고 상태변수를 식(4)와 같이 정의한다.

$$\tag{4} \begin{aligned} &b_0U(s)-a_0Y(s) = \\ &=(s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_1s)Y(s)-(b_{n-1} s^{n-1}+b_{n-2}s^{n-2}+ \ldots+b_1s)U(s) \\ &=sX1(s) \end{aligned}$$

식(4)에서 첫번째 식과 마지막 식을 모아서 식(5)와 같이 만든다.

$$\tag{5} b_0U(s)-a_0Y(s)= sX1(s)$$

식(4)에서 두번째 식과 마지막 식으로 하나의 방정식을 만들고 이 식을 s로 나누면 식(6)과 같아진다.

$$\tag{6} X_1=(s^{n-1}+a_{n-1}s^{n-2}+ \ldots +a_1)Y(s)-(b_{n-1} s^{n-2}+b_{n-2}s^{n-3}+ \ldots +b_1)U(s)$$

식(6)에서 s가 없는 항을 왼쪽으로 이항하고 식(7)과 같이 상태변수를 정의한다.

$$\tag{7} X_1(s)+b_1U(s)-a_1Y(s)=(s^{n-1}+a_{n-1}s^{n-2}+ \ldots +a_2s)Y(s)-(b_{n-1} s^{n-2}+b_{n-2}s^{n-3} + \ldots + b_2s)U(s)=sX_2(s)$$

식(7)의 첫번째 식과 마지막 식으로 식(8)과 같이 정리한다.

$$\tag{8} X_1(s)+b_1U(s)-a_1Y(s)=sX_2(s)$$

식(7)의 두번째 식과 마지막 식을 s로 나줘주고 정리하면 식(9)와 같아진다.

$$\tag{9} X_2=(s^{n-2}+a_{n-1}s^{n-3} + \ldots +a_2)Y(s)-(b_{n-1} s^{n-3} + b_{n-2} s^{n-4} + \ldots +b_2)U(s)$$

식(9)에서 s가 없는 항을 왼쪽으로 이항하여 식(10)을 만든다.

$$\tag{10} X_2(s)+b_2U(s)-a_2Y(s)=(s^{n-2}+a_{n-1}s^{n-3}+ \ldots +a_3s)Y(s)-(b_{n-1} s^{n-2}+b_{n-2}s^{n-3} + \ldots + b_3s)U(s)=sX_3(s)$$

식(10)의 첫번째 식과 마지막 식을 정리하면 식(11)과 같아진다. 위의 과정을 반복한다.

$$\tag{11} X_2(s)+b_2U(s)-a_2Y(s)=sX_3(s)$$

$$\vdots$$

$$\tag{12} X_{n-1}(s) + b_{n-1} U(s) - a_{n-1}Y(s) = sY(s) = sX_n(s)$$

$$\tag{13} X_{n-1}(s)+b_{n-1}U(s)-a_{n-1}Y(s)=sX_n(s) = sY(s)$$

식(5), (8), (11), ... 을 라플라스 역변환하고 식(13)을 적용하면 식(14)와 같이 쓸 수 있다.

$$\dot {x_1(t)} = -a_0 y(t) + b_0 u(t) \Rightarrow \dot {x_1(t)} = -a_0 x_n(t) + b_0 u(t)$$

$$\tag{14} \dot{x_2(t)} = x_1(t) -a_1 y(t) + b_1 u(t) \Rightarrow \dot{x_2(t)} = x_1(t) -a_1 x_n(t) + b_1 u(t) \\ \dot{x_3(t)} = x_2(t) -a_2 y(t) + b_2 u(t) \Rightarrow \dot{x_3(t)} = x_2(t) -a_2 x_n(t) + b_2 u(t) \\ \vdots \\ \dot{x_n(t)} = x_{n-1}(t) -a_{n-1} y(t) + b_{n-1} u(t) \Rightarrow \dot{x_n(t)} = x_{n-1}(t) -a_{n-1} x_n(t) + b_{n-1} u(t)$$

위 식을 행렬식으로 표현하면 식(15)와 같다.

$$\tag{15} \begin{bmatrix}\dot {x_1(t)} \\ \dot{x_2(t)} \\ \dot{x_3(t)} \\ \vdots \\ \dot{x_n(t)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \ldots& 0 & -a_0 \\ 1& 0 & \ldots&0 & -a_1 \\ 0& 1 & \ldots &0& -a_2 \\ & & \vdots & \\ 0& 0 & \ldots &1& -a_{n-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t) \\ x_3(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_0\\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_{n-1} \end{bmatrix}u(t)$$

$$y(t) = \begin{bmatrix} 0 &0&0& \ldots & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1(t)\\ x_2(t) \\ x_3(t) \\ \vdots \\ x_n(t) \end{bmatrix} + [0] u(t)$$

여기서, $A =\begin{bmatrix} 0 & 0 & \ldots& 0 & -a_0 \\ 1& 0 & \ldots&0 & -a_1 \\ 0& 1 & \ldots &0& -a_2 \\ & & \vdots & \\ 0& 0 & \ldots &1& -a_{n-1} \end{bmatrix}$ , $B = \begin{bmatrix} b_0\\ b_1 \\ \vdots\\ \\b_{n-1} \end{bmatrix}$, $C= \begin{bmatrix} 0 &0 &0 &0& \ldots& 1\end{bmatrix}$, $D=[0]$