Lecture 상태 변수 방정식

상태 변수 방정식

개요

입력, 출력, 상태변수를 이용하여 시스템을 표현한다.

상태변수 방정식은 상태변수들의 1차 연립미분방정식으로 구성한다.

전달함수의 문제점

입출력 신호의 비율만 같으면 전달함수는 같다. 그러므로 시스템의 내부에서 실제로 일어나는 상황에 대해서 정확히 나타내기 어려움

상태변수(시스템의 내부 동특성을 완전히 나타낼 수 있는 최소 개수의 독립 변수 집합)를 이용하여 시스템의 특성을 나타내면 해결할 수 있다.

예1]

$$i_c = i_L - i_r \Rightarrow C\dfrac{dv_c}{dt}=i_L - \dfrac{1}{R}v_c$$

$$v_L = v - v_c \Rightarrow L\dfrac{di_L}{dt} = 0 i_L - v_c + v$$

$$\begin{cases} \dfrac{dv_c}{dt}=-\dfrac{1}{RC}v_c + \dfrac{1}{C}i_L \\ \\\dfrac{di_L}{dt} = -\dfrac{1}{L}v_c + \dfrac{0}{L} i_L + \dfrac{1}{L}v \end{cases}$$

$$\begin{bmatrix} \dfrac{dv_c}{dt} \\ \\\dfrac{di_L}{dt} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\dfrac{1}{RC} & \dfrac{1}{C} \\ \\ -\dfrac{1}{L}& 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_c \\ i_L \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 \\ \\\dfrac{1}{L} \end{bmatrix}v$$

[예 2]

$$F - B(\dot {y_1} - \dot {y_2}) - K (y_1 - y_2 ) = m_1 \ddot{y_1}$$

$$B(\dot{y_1} - \dot{y_2})+ K(y_1 - y_2)=m_2 \ddot{y_2}$$

$$x_1 = y_1 \quad x_2 = \dot{y_1} \quad x_3 = {y_2} \quad x_4 = \dot{y_2}$$

$$\begin{aligned} \dot{x_1} &= x_2 \\ \dot{x_1} &= - \dfrac{K}{m_1}x_1 - \dfrac{B}{m_1}x_2 + \dfrac{K}{m_1}x_3 + \dfrac{B}{m_1}x_4+ \dfrac{F}{m_1} \\ \dot{x_3} &= x_4 \\ \dot{x_4} &= \dfrac{K}{m_2}x_1 + \dfrac{B}{m_2}x_2 - \dfrac{K}{m_2}x_3 - \dfrac{B}{m_2}x_4 \end{aligned}$$

$$\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ \\- \dfrac{K}{m_1}& - \dfrac{B}{m_1} & \dfrac{K}{m_1} & \dfrac{B}{m_1} \\ \\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \\ \dfrac{K}{m_2} & \dfrac{B}{m_2} &-\dfrac{K}{m_2} & -\dfrac{B}{m_2} \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0\\ \\ \dfrac{1}{m_1} \\ \\0 \\ \\0 \end{bmatrix}F$$

$$\begin{bmatrix} y_1 \\ \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 0 & 0& 0 \\ \\ 0 & 0& 1 & 0\end{bmatrix} x$$

상태 변수 방정식 : 상태 변수를 이용하여 시스템의 동특성을 나타낸 식

$$\dot x(t) = Ax(t) + Bu(t) \\ y(t) = Cx(t) + D u(t)$$