[전기 방식별 전선 중량 비교] [1] 단상 3선식의 전선 중량

강의노트 [전기 방식별 전선 중량 비교] [1] 단상 3선식의 전선 중량

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전기 방식별 전선 중량 비교

송배전 선로

전기 공급 방식

전선의 중량

Note

단상 2선식을 기준으로 할 때 단상 3선식의 소요 전선 중량을 알아봅니다.
이때 공급 전압, 전력, 전력 손실, 역률은 동일하다는 조건을 잘 활용하는 것이 중요합니다.
각 식에서 아래 첨자 ' $\color{red}1$ ' 은 단상 2선식을 의미하고,아래 첨자 ' $\color{red}2$ ' 는 단상 3선식을 의미합니다.

(1) 역률, 전력 공급 동일 조건으로부터 전류의 비율을 구한다.

단상 2선식과 단상 3선식의 유효전력 공급을 각각 $P_1$ , $P_2$ 라고 하면, 역률과 공급 전압이 동일하므로 역률을 $\cos\theta$ 라고 할 때 다음과 같이 표현됩니다.

$\tag{1} \begin{split} P_1 &= VI_1 \cos\theta \\ P_2 &= 2VI_2 \cos\theta \end{split}$

공급 전력이 동일하다는 조건으로부터 $P_1 = P_2$ 이고, 이를 위식에 적용하면 다음과 같은 식을 구할 수 있습니다.

$\tag{2} VI_1 \cos\theta = 2VI_2 \cos\theta$

위 식을 정리하면 다음과 같은 전류 비율에 관한 식을 구할 수 있습니다.

$\tag{3} \boxed{I_1 = 2 I_2}$

(2) 전력 손실 동일 조건으로부터 단면적의 비율을 구한다.

단상 2선식과 단상 3선식의 전력 손실을 각각 $P_{l1}$ , $P_{l2}$ 라고 하면,

$\tag{4} \begin{split} P_{l1}= 2 I_1^2 R_1 \\[1ex] P_{l2} = 2 I_2^2 R_2 \end{split}$

전력 손실이 동일하므로 $P_{l1} = P_{l2}$ 이고, 이를 위식에 적용하면

$\tag{5} 2 I_1^2 R_1 = 2 I_2^2 R_2$

앞 식 $(3)$ 의 결과 $I_1 = 2 I_2$ 를 위 식에 적용하고 정리하면

$\tag{6} \boxed{ R_2 = 4 R_1 }$

전선의 단면적과 저항간의 다음과 관계를 상기합니다. 아래 식에서 $\rho\,$ 는 고유 저항, $l$ 은 전선의 길이, $A$ 는 전선의 단면적을 의미합니다.

$\tag{7} R= \rho \frac{l}{A}$

단상 2선식과 단상 3선식의 단면적을 각각 $A_1$ , $A_2$ 라고 하면, 위식은 저항과 단면적이 반비례 관계임을 의미하므로 다음 관계를 구할 수 있습니다.

$\tag{8} A_1 : A_2 = R_2 : R_1$

위 식으로부터

$\tag{9} A_1 = \frac{R_2}{R_1} A_2$

앞의 저항 관계 식 $(6)$ 을 식 $(9)$ 에 적용하면

$A_1 = \frac{R_2}{R_1} A_2 = \frac{4 R_1}{R_1} A_2 = 4 A_2$

따라서 단상 2선식과 단상 3선식간의 전선의 단면적 관계는 다음과 같습니다.

$\tag{10} \boxed{ A_1 = 4 A_2 }$

(3) 단면적의 비율로부터 전선의 중량비를 구한다.

중성선의 굵기가 전압선의 굵기와 동일한 경우

단상 2선식과 단상 3선식의 전선의 중량을 각각 $W_1$ , $W_2$ 라고 하면, 중성선의 굵기가 동일하다고 할 때 전선의 중량은 다음과 같이 표현됩니다. 아래 식에서 $\sigma$ 는 전선의 밀도를 의미합니다.

$\tag{11} \begin{split} W_1 &= 2 \sigma A_1 l \\[1ex] W_2 &= 3 \sigma A_2 l \end{split}$

앞에서 구한 단면적 간의 관계 식 $(10)$ 을 위 식에 적용하면 중량비는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$\tag{12} \begin{split} \frac{W_2}{W_1} &= \frac{3 \sigma A_2 l}{2 \sigma A_1 l} = \frac{3 A_2}{2 A_1} \\[3ex] &= \frac{3 A_2}{8 A_2} = \frac{3}{8} = 0.375 \end{split}$

따라서 중량비는 다음과 같습니다.

$\tag{13} \boxed{ W_2 = \frac{3}{8} W_1 = 0.375 \,{W_1} }$

중성선의 굵기가 전압선의 굵기의 절반인 경우

단상 2선식과 단상 3선식의 전선의 중량을 각각 $W_1$ , $W_2$ 라고 하면, 중성선의 굵기를 전압선 굵기의 $\frac{1}{2}$ 로 할 때 전선의 중량은 다음과 같이 표현됩니다.

$\tag{14} \begin{split} W_1 &= 2 \,\sigma A_1 l \\[1ex] W_2 &= 2.5 \,\sigma A_2 l \end{split}$

앞에서 구한 단면적 간의 관계 식 $(10)$ 을 위 식에 적용하면 중량비는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$\tag{15} \begin{split} \frac{W_2}{W_1} &= \frac{2.5 \sigma A_2 l}{2 \sigma A_1 l} = \frac{2.5 A_2}{2 A_1} \\[3ex] &= \frac{2.5 A_2}{8 A_2} = \frac{5}{16} = 0.313 \end{split}$