강의노트 [전기 방식별 전선 중량 비교] [2] 3상 3선식의 전선 중량

단상 2선식을 기준으로 할 때 3상 3선식의 소요 전선 중량을 알아봅니다. 이때 공급 전압, 공급 전력, 전력 손실, 역률은 동일하다는 조건을 잘 활용하는 것이 중요합니다. 각 식에서 아래 첨자 '$\color{blue}1$' 은 단상 2선식을 의미하고, 아래 첨자 '$\color{blue} 3$' 은 3상 3선식을 의미합니다.

(1) 역률, 전력 공급 동일 조건으로부터 전류의 비율을 구한다.

단상 2선식과 3상 3선식의 유효전력 공급을 각각 $P_1$, $P_3$ 라고 하면, 역률과 공급 전압이 동일하므로 역률을 $\cos\theta$ 라고 할 때 다음과 같이 표현됩니다.

$$\tag{1} \begin{split} P_1 &= VI_1 \cos\theta \\ P_3 &= \sqrt 3 VI_3 \cos\theta \end{split}$$

공급 전력이 동일하다는 조건으로부터 $P_1 = P_3$ 이고, 이를 위식에 적용하면 다음과 같은 식을 구할 수 있습니다.

$$\tag{2} VI_1 \cos\theta = \sqrt 3 VI_3 \cos\theta$$

위 식을 정리하면 다음과 같은 전류 비율에 관한 식을 구할 수 있습니다.

$$\tag{3} \boxed{ I_1 = \sqrt 3 I_3 }$$

(2) 전력 손실 동일 조건으로부터 단면적의 비율을 구한다.

단상 2선식과 3상 3선식의 전력 손실을 각각 $P_{l1}$, $P_{l3}$ 라고 하면,

$$\tag{4} \begin{split} P_{l1} &= 2 I_1^2 R_1 \\ P_{l3} &= 3 I_3^2 R_3 \end{split}$$

전력 손실이 동일하므로 $P_{l1} = P_{l3}$이고, 이를 위식에 적용하면

$$\tag{5} 2 I_1^2 R_1 = 3 I_3^2 R_3$$

앞 식$(3)$의 결과 $I_1 = \sqrt 3 I_3$ 를 위 식에 적용하고 정리하면

$$\tag{6} \boxed{ R_3 = 2 R_1 }$$

단상 2선식과 3상 3선식의 단면적을 각각 $A_1$, $A_3$ 라고 하고, 전선의 단면적과 저항간의 다음과 관계를 상기합니다.

$$\tag{7} R= \rho \frac{l}{A}$$

위식은 저항과 단면적이 반비례 관계임을 의미하므로 다음 관계를 구할 수 있습니다.

$$\tag{8} A_1 : A_3 = R_3 : R_1$$

위 식으로부터

$$\tag{9} A_1 = \frac{R_3}{R_1} A_3$$

앞의 저항 관계 식$(6)$을 식$(9)$에 적용하면

$$A_1 = \frac{R_3}{R_1} A_3 = \frac{2 R_1}{R_1} A_3 = 2 A_3$$

따라서 단상 2선식과 3상 3선식간의 전선의 단면적 관계는 다음과 같습니다.

$$\tag{10} \boxed{ A_1= 2 A_3 }$$

(3) 단면적의 비율로부터 전선의 중량비를 구한다.

단상 2선식과 3상 3선식의 전선의 중량을 각각 $W_1$, $W_3$ 라고 하면, 전선의 중량은 다음과 같이 표현됩니다.

$$\tag{11} \begin{split} W_1 &= 2 \sigma A_1 l \\ W_2 &= 3 \sigma A_3 l \end{split}$$

앞에서 구한 단면적 간의 관계 식$(10)$을 위 식에 적용하면 중량비는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\tag{12} \begin{split} \frac{W_3}{W_1} &= \frac{3 \sigma A_3 l}{2 \sigma A_1 l} = \frac{3 A_3}{2 A_1} \\ &= \frac{3 A_3}{4 A_3} = \frac{3}{4} \\ &= 0.75 \end{split}$$

따라서 중량비는 다음과 같습니다.

$$\tag{13} \boxed{ W_3 = \frac{3}{4} \, W_1 = 0.75 \,{W_1} }$$

따라서 공급 전력, 전력 손실, 역률이 동일한 조건 하에서 3상 3선식 전기 공급 방식은 단상 2선식 방식에 비하여 $\color{red} 75[\%]$의 전선만 필요합니다.