Lecture 라플라스 변환의 중요한 정리

라플라스 변환의 특징

선형정리

$$\mathcal{L}[af_{1}(t)±bf_{2}(t)]=a F_{1}(s)±b F_{2}(s)$$

[예] $f(t)= 3 + 2t + 4e^{-3t}+ 5\cos 20t$

복소 추이 정리

$$\mathcal{L}[e^{-at}f(t)]=F(s + a)$$

시간 이동 정리

$$\mathcal{L}[f(t-a)]=e^{-as}F(s)$$

[예] $f(t)= u(t-2)+\sin[10(t-2)]u(t-2)$

$$\begin{matrix} \mathcal{L}[f(t)] &=& \int_0^{\infty}u(t-2)e^{-st}dt + \int_0^{\infty}\sin[10(t-2)]u(t-2)e^{-st}dt \\ &=& \int_2^{\infty}e^{-st}dt + \int_2^{\infty}\sin[10(t-2)]e^{-st}dt \\ \end{matrix}$$

$y = t-2$로 치환하면 $dy=dt$가 되고 $t=y+2$가 된다.

$$\begin{matrix} \mathcal{L}[f(y)] &=& \int_0^{\infty}e^{-s(y+2)}dy + \int_0^{\infty}\sin[10y]e^{-s(y+2)}dy \\ &=& e^{-2s} \int_0^{\infty}e^{-sy}dy + e^{-2s} \int_0^{\infty}\sin[10y]e^{-sy}dy \\ &=& e^{-2s} \mathcal{L}[u(t)] + e^{-2s} \mathcal{L}[\sin(10t)] \\ &=& e^{-2s} \dfrac{1}{s} + e^{-2s} \dfrac{10}{s^2+10^2}\end{matrix}$$

미분 정리

$$\mathcal{L}[\dfrac{df(t)}{dt}]=s F(s)-f(0)$$

$$\mathcal{L}[\dfrac{d^{n}f(t)}{dt}]=s^{n}F(s)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f^{(1)}(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)$$

[예] $\dfrac{d^{2}y(t)}{dt^{2}}+ 3\dfrac{dy(t)}{dt}+2y(t)=u(t)$ 초기값 $y^{'}(0)= 0$, $y(0)=1$

적분 정리

$$\mathcal{L}[\int_{0}^{t}f(t)dt]=\dfrac{1}{s}F(s)+\dfrac{1}{s}f^{(-1)}(0)$$

[예] RLC 직렬회로, 초기값은 0, 전류에 대한 라플라스 변환함수는?

초기값 정리

$$f(0)= \lim_{t \to 0}f(t)=\lim_{s \to \infty}(s \cdot F(s))$$

[예] 초기값은 $F(s)=\dfrac{s^{2}-s +5}{s(s^{2}+ 3s + 2)}$

최종값 정리

$$f(\infty)=\lim_{t \to \infty}f(t)=\lim_{s \to 0}(s\cdot F(s))$$

[예] 최종값은? $F(s)=\dfrac{s^{2}+ 5s + 1}{s^{3}+ 3s^{2}+ 2s}$

컨벌루션(Convolution) :

$$\begin{align*} \mathcal{L}\left[f_{1}(t)\ast f_{2}(t)\right] &=\mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}f_{1}(\tau)f_{2}(t-\tau)dt\right]\\ \\&=\mathcal{L}\left[\int_{0}^{t}f_{1}(t-\tau)f_{2}(\tau)dt\right]\\ \\&= F_{1}(s)F_{2}(s) \end{align*}$$

$$\mathcal{L}\left[f_{1}(t)f_{2}(t)\right]= F_{1}(s)\ast F_{2}(s)$$

상사 정리

$$\mathcal{L}[f(\dfrac{t}{a})]=a F(as)$$

복소 미분 정리

$$\mathcal{L}[t f(t)]=(-1)\dfrac{d F(s)}{ds}$$

$$\mathcal{L}[t^{n}f(t)]=(-1)^{n}\dfrac{d^{n}}{ds^{n}}F(s)$$

[예] $f(t)= t^{2}e^{-2t}u(t)$

[예] $f(t)= t\sin 100t u(t)$

복소 적분 정리

$$\mathcal{L}[\dfrac{f(t)}{t}]=\int_{s}^{\infty}F(s)ds$$

주기함수의 라플라스 변환

$$F(s)=F_{1}(s)\dfrac{1}{1-e^{-Ts}}$$