Lecture 라플라스 변환의 정의

라플라스 변환

$f(t)$의 라플라스 변환 $\mathcal{L}[f(t)]$는 다음과 같이 정의한다.

$$F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-s t} dt$$

라플라스 변환 예제

단위 계단함수

$$\tag{1} u (t) = \begin{cases} 1 &\text{if } t \geqslant 0 \\ 0 &\text{if } t<0 \end{cases}$$

$$\mathcal{L}[u(t)]=\int_{0}^{\infty}e^{-st}dt=-\dfrac{1}{s}e^{-st}\mid_{0}^{\infty}=\dfrac{1}{s}$$

지수 감쇠함수

$$f(t)= e^{at}$$

$$\mathcal{L}[f(t)] = \int_{0}^{\infty}e^{at}e^{-st}dt = \int_{0}^{\infty}e^{(a-s)t}dt \\ = -\dfrac{1}{s-a}e^{-(s-a)t}\mid_{0}^{\infty} = \dfrac{1}{s-a}$$

단위 램프 함수

$$f(t)= t$$

$$\mathcal{L}[f(t)]=\int_{0}^{\infty}te^{-st}dt=\int_{0}^{\infty}\left(te^{-st}\right)^{'}dt - \int_{0}^{\infty}1 \dfrac{e^{-st}}{-s}dt = \dfrac{1}{s^2}$$

정현파 함수

$$f(t)=\sin w_{0}t$$

$$\begin{matrix} \mathcal{L}[f(t)]&=&\int_{0}^{\infty}\sin (\omega_o t) e^{-st}dt \\ &=&\int_{0}^{\infty}\left(\sin (\omega_o t) \dfrac{e^{-st}}{-s}\right)^{'}dt - \int_{0}^{\infty}\omega_o \cos (\omega_o t) \dfrac{e^{-st}}{-s}dt \\ &=& \dfrac{\sin (\omega_o t) e^{-st}}{-s}\mid_0^{\infty}+ \dfrac{\omega_o}{s}\int_{0}^{\infty}\cos (\omega_o t)e^{-st}dt\\ &=& \dfrac{\omega_o}{s}\left[ \int_{0}^{\infty}\left(\cos (\omega_o t) \dfrac{e^{-st}}{-s}\right)^{'}dt - \int_{0}^{\infty}\omega_o \sin (\omega_o t) \dfrac{e^{-st}}{-s}dt \right] \\ &=& \dfrac{\omega_o}{s}\left[ \dfrac{\cos (\omega_o t) e^{-st}}{-s}\mid_0^{\infty}- \dfrac{\omega_o}{s} \int_{0}^{\infty}\sin (\omega_o t) e^{-st}dt \right] \\ &=& \dfrac{\omega_o}{s}\left[ \dfrac{1}{s}- \dfrac{\omega_o}{s} \int_{0}^{\infty}\sin (\omega_o t) e^{-st}dt \right] \end{matrix}$$

그러므로

$$\int_{0}^{\infty}\sin (\omega_o t) e^{-st}dt = \dfrac{\omega_o}{s^2+\omega_o^2}$$

단위 임펄스 함수

$$f(t)=\delta(t)$$

중요한 라플라스 변환