예제 Nyquist 선도 예제 1

나이퀴스트 선도 그리기

• $G(s)H(s) = \dfrac{K}{s(s+a)}$

1. $GH(s)$에 $s = j\omega$ 를 대입 :

$$GH(j\omega) = \dfrac{K}{j\omega(j\omega+a)}$$

2. $\omega \to 0^+$ (A점에 해당)

$$GH(0) = \dfrac{K}{0(0+a)}=\infty \angle(0^\circ)$$

3. $\omega \to + \infty$ (B점에 해당)

$$GH(j\infty) = \dfrac{K}{j\infty(j\infty+a)}=0 \angle (-180^\circ)$$

4. $s = R^{j \theta} \vert_{\begin{cases} R\to \infty \\ \theta \to 90^\circ \to 0 \to -90^\circ \end{cases}}$ (C점에 해당)

$$GH(R^{j\theta}) = \dfrac{K}{R^{j\theta}(R^{j\theta}+a)}=0 \angle (-2 \theta)= 0\angle(-180^\circ \to 0^\circ \to 180^\circ )$$

5. $\omega \to -\infty$ (D점에 해당)

$$GH(-j\infty) = \dfrac{K}{-j\infty(-j\infty+a)}=0 \angle (180^\circ)$$

6. $\omega \to 0^-$ (E점에 해당)

$$GH(0^{-}) = \dfrac{K}{0^-(0^-+a)}$$

7. $s = r^{j \theta} \vert_{\begin{cases} r\to 0 \\ \theta \to -90^\circ \to 0 \to 90^\circ \end{cases}}$ (F점에 해당)

$$GH(r^{j\theta}) = \dfrac{K}{r^{j\theta}(r^{j\theta}+a)}= \infty \angle (- \theta)= \infty \angle(90^\circ \to 0^\circ \to -90^\circ )$$

8. 실수축과의 교차점 :

$$GH(j\omega)= \dfrac{K}{j\omega(j\omega+a)}=\dfrac{K(-\omega^2-ja\omega)}{\omega^4+a^2\omega^2}$$

$$-K\omega(\omega+ja)=0 \Rightarrow \omega=0$$