제어공학 • 상태변수 방정식
Problem 예제.
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n차 선형 시불변 시스템의 상태 방정식을 ddtX(t)=AX(t)+Bu(t)\dfrac{d}{dt} X(t) = AX(t) + Bu(t)로 표시할 때 상태 천이 행렬 ϕ(t)(n×n 행렬)에 관하여 잘못 기술된 것은?

1

dΦdt=AΦ(t)\dfrac{d\Phi}{dt} = A \Phi(t)

2

dΦ=L−1(sI−A)−1{d\Phi} = \mathcal{L}^{-1} (sI-A)^{-1}

3

Φ(t)=eAt\Phi(t) = e^{At}

4

Φ(t)\Phi(t)는 시스템의 정상 상태 응답을 나타낸다.

Problem 예제.
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천이 행렬(transition matrix)에 관한 서술 중 옳지 않은 것은? 단, x = Ax+Bu이다.

1

Φ(t)=eAt\Phi(t) = e^{At}

2

Φ(t)=L−1(sI−A)\Phi(t)= \mathcal{L}^{-1}(sI-A)

3

천이 행렬은 기본 행렬(fundamental matrix)이라고도 한다.

4

Φ(s)=(sI−A)−1\Phi(s)=(sI-A)^{-1}

Problem 예제.
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다음 상태 방정식으로 표시되는 제어계의 천이 행렬ϕ(t)는?

X˙=[0100]X+[01]u \dot{X} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\0&0 \end{bmatrix}X +\begin{bmatrix} 0 \\1 \end{bmatrix}u

1

[0t11]\begin{bmatrix} 0 & t\\1&1 \end{bmatrix}

2

[110t]\begin{bmatrix} 1 & 1\\0&t \end{bmatrix}

3

[1t01]\begin{bmatrix} 1 & t\\0&1 \end{bmatrix}

4

[0t10]\begin{bmatrix} 0 & t\\1&0 \end{bmatrix}

Problem 예제.
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다음 계통의 상태 천이 행렬 ϕ(t)를 구하면?

[X1˙X2˙]=[01−2−3][X1X2]\begin{bmatrix} \dot{X_1}\\ \dot{X_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&1\\-2 & -3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} X_1\\ X_2 \end{bmatrix}

1

[2e−t−e2te−t−e2t−2e−t+2e2t−et+2e2t]\begin{bmatrix} 2e^{-t}-e^{2t} & e^{-t} - e^{2t} \\ -2e^{-t}+2e^{2t} & -e^{t} + 2e^{2t} \end{bmatrix}

2

[2et+e2t−et+e−2t2et−2e2tet−2e−2t]\begin{bmatrix} 2e^{t}+e^{2t} & -e^{t} + e^{-2t} \\ 2e^{t}-2e^{2t} & e^{t} - 2e^{-2t} \end{bmatrix}

3

[−2e−t+e−2t−e−t−e2t−2e−t−2e−2t−e−t−2e−2t]\begin{bmatrix} -2e^{-t}+e^{-2t} & -e^{-t} - e^{2t} \\ -2e^{-t}-2e^{-2t} & -e^{-t} - 2e^{-2t} \end{bmatrix}

4

[2e−t−e−2te−t−e−2t−2e−t+2e−2t−e−t+2e−2t]\begin{bmatrix} 2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t} - e^{-2t} \\ -2e^{-t}+2e^{-2t} & -e^{-t} + 2e^{-2t} \end{bmatrix}

Problem 예제.
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A=[01−5−2],B=[01]A= \begin{bmatrix}0& 1\\ -5 &-2 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}인 상태방정식 dxdt=Ax+Br \dfrac{dx}{dt}=Ax+Br에서 상태 천이 행렬 ϕ(t)는?

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[e−t(cos⁡2t+12sin⁡2t)12e−tsin⁡2t−52e−tsin⁡2te−t(cos⁡2t−12sin⁡2t)]\begin{bmatrix} e^{-t}(\cos 2t + \dfrac{1}{2} \sin 2t ) & \dfrac{1}{2}e^{-t} \sin 2t \\ - \dfrac{5}{2}e^{-t} \sin 2t & e^{-t} ( \cos 2t - \dfrac{1}{2} \sin 2t ) \end{bmatrix}

2

[e−t(cos⁡2t+12sin⁡2t)12e−tsin⁡2t−52e−tsin⁡2te−t(cos⁡2t+12sin⁡2t)]\begin{bmatrix} e^{-t}(\cos 2t + \dfrac{1}{2} \sin 2t ) & \dfrac{1}{2}e^{-t} \sin 2t \\ - \dfrac{5}{2}e^{-t} \sin 2t & e^{-t} ( \cos 2t + \dfrac{1}{2} \sin 2t ) \end{bmatrix}

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[e−t(cos⁡2t+12sin⁡2t)−52e−tsin⁡2t12e−tsin⁡2te−t(cos⁡2t−12sin⁡2t)]\begin{bmatrix} e^{-t}(\cos 2t + \dfrac{1}{2} \sin 2t ) & -\dfrac{5}{2}e^{-t} \sin 2t \\ \dfrac{1}{2}e^{-t} \sin 2t & e^{-t} ( \cos 2t - \dfrac{1}{2} \sin 2t ) \end{bmatrix}

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[e−t(cos⁡2t−12sin⁡2t)−52e−tsin⁡2t12e−tsin⁡2te−t(cos⁡2t+12sin⁡2t)]\begin{bmatrix} e^{-t}(\cos 2t - \dfrac{1}{2} \sin 2t ) &- \dfrac{5}{2}e^{-t} \sin 2t \\ \dfrac{1}{2}e^{-t} \sin 2t & e^{-t} ( \cos 2t + \dfrac{1}{2} \sin 2t ) \end{bmatrix}

Problem 예제.
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어떤 시불변계의 상태 방정식이 다음과 같다. 상태 천이 행렬 ϕ(t)는? 단, A=[00−1−2],B=[11],x(t)˙=Ax(t)+Bu(t)A = \begin{bmatrix} 0& 0\\-1&-2\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}, \dot{x(t)} = A x(t) + Bu(t)

1

[10(e−2t−1)1]\begin{bmatrix} 1& 0 \\ (e^{-2t}-1) &1\end{bmatrix}

2

[10(e−2t−1)e−2t]\begin{bmatrix} 1& 0 \\ (e^{-2t}-1) &e^{-2t}\end{bmatrix}

3

[102(e−2t−1)e−2t]\begin{bmatrix} 1& 0 \\ 2(e^{-2t}-1) &e^{-2t}\end{bmatrix}

4

[10(e−2t−1)2e−2t]\begin{bmatrix} 1& 0 \\ \dfrac{(e^{-2t}-1)}{2} &e^{-2t}\end{bmatrix}

Problem 예제.
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계수 행렬(또는 동반 행렬) A가 다음과 같이 주어지는 제어계가 있다. 천이 행렬(transition matrix)을 구하면? A=[01−1−2]A = \begin{bmatrix} 0&1\\-1&-2\end{bmatrix}

1

[(t+1)e−tte−t−te−t(−t+1)e−t]\begin{bmatrix} (t+1)e^{-t} & te^{-t}\\-te^{-t} & (-t+1)e^{-t}\end{bmatrix}

2

[(t+1)e−ttet−te−t(t+1)et]\begin{bmatrix} (t+1)e^{-t} & te^{t}\\-te^{-t} & (t+1)e^{t}\end{bmatrix}

3

[(t+1)e−t−te−tte−t(t+1)e−t]\begin{bmatrix} (t+1)e^{-t} & -te^{-t}\\te^{-t} & (t+1)e^{-t}\end{bmatrix}

4

[(t+1)e−t00(−t+1)e−t]\begin{bmatrix} (t+1)e^{-t} & 0\\0 & (-t+1)e^{-t}\end{bmatrix}

Problem 예제.
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상태 방정식이 다음과 같은 계의 천이 행렬 ϕ(t)는 어떻게 표시되는가?

x(t)˙=Ax(t)+Bu\dot{x(t)} = Ax(t) + B u

1

L−1(sI−A) \mathcal{L}^{-1}(sI-A)

2

L−1(sI−A)−1 \mathcal{L}^{-1}(sI-A)^{-1}

3

L−1(sI−B) \mathcal{L}^{-1}(sI-B)

4

L−1(sI−B)−1 \mathcal{L}^{-1}(sI-B)^{-1}

Problem 예제.
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상태 변위 행렬식(state transition matrix) Φ(t)=e(At)\Phi(t)= e^{(At)}에서 t=0일 때의 값은?

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e

2

II

3

e−1e^{-1}

4

0

Problem 예제.
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시스템의 특성이 G(s)=C(s)U(s)=1s2G(s)=\dfrac{C(s)}{U(s)}=\dfrac{1}{s^2}과 같을 때 상태 천이 행렬은?

1

[1001]\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}

2

[1t01]\begin{bmatrix} 1&t\\0&1\end{bmatrix}

3

[1−t01]\begin{bmatrix} 1&-t\\0&1\end{bmatrix}

4

[−1001]\begin{bmatrix} -1&0\\0&1\end{bmatrix}