강의노트 집중 부하와 분산 부하

급전점에서 부하의 전류가 $I[\mathrm{A}]$, 전선의 단위 길이당 저항이 $r[\Omega/\mathrm{m}]$, 전선의 길이가 $L[\mathrm{m}]$일때 다음 각각의 경우의 전압 강하 $e [\mathrm{V}]$ 와 전력 손실 $P_l [\mathrm{W}]$에 대하여 알아봅니다.

• 부하가 말단에 집중되어 있을 때
• 부하가 전체 선로에 균등하게 분산되어 있을 때

말단에 부하가 집중되어 있을 때

아래 그림과 같이 말단에 부하가 집중되어 있을 때 전압 강하와 전력 손실을 구합니다.

급전점에서의 부하까지의 총 저항은 다음과 같습니다.

$$R = r L \,[\Omega]$$

따라서 전압 강하 $e$ 는 다음과 같습니다.

$$e = IrL = IR \,[\mathrm{V}]$$

그리고 전력 손실 $P_l$ 은 다음과 같습니다.

$$P_l = I^2 r L = I^2 R \,[\mathrm{W}]$$

부하가 균등히 분포되어 있을 때

아래 그림과 같이 부하가 선로의 전체에 균등히 분포되어 있을 때를 생각합니다. 급전점에서의 전류는 $I$ 로서 동일합니다.

이때 급전점에서 거리가 $x$ 인 지점에서 선로에 흐르는 전류는 다음과 같이 표현됩니다.

$$I_x = I \left( 1 - \frac{x}{L} \right) \,[\mathrm{A}]$$

말단에서의 전압 강하는 전 구간에서의 전압 강하의 합이므로 부하가 연속적으로 존재한다고 가정하면 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\begin{align*} e &= \int_0^L I_x \,r\, \mathrm{dx} = \int_0^L I \left( 1 - \frac{x}{L} \right) r\, \mathrm{dx} \\[2.5ex] &= \frac{1}{2} I r L = \frac{1}{2} I R \,[\mathrm{V}]\end{align*}$$

그리고 전체 선로의 전력 손실은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\begin{align*} P_l &= \int_0^L I_x^2 \,r\, \mathrm{dx} = \int_0^L I^2 \left( 1 - \frac{x}{L} \right)^2 r\, \mathrm{dx} \\[2.5ex] &= \frac{1}{3} I^2 r L = \frac{1}{3} I^2 R \,[\mathrm{W}] \end{align*}$$

요약

정리하면 다음과 같습니다.