제어공학 • 상태변수 방정식
Problem 예제.
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다음과 같은 상태 방정식의 고유값 λ1과 λ2는?

[X1˙X2˙]=[1−2−32][X1X2]+[2−3−43][t1t2]\begin{bmatrix} \dot{X_1} \\ \dot{X_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2\\ -3 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1 \\ {X_2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ -4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t_1 \\ t_2 \end{bmatrix}

1

4, -1

2

-4, 1

3

8, -1

4

-8, 1

Problem 예제.
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다음의 상태 방정식에 대한 서술 중 바르지 못한 것은? 단, P, B는 상수 행렬임

X(t)˙=PX(t)+Bu(t) \dot{X(t)} = P X(t) + B u(t)

1

이 제어계의 영상태 응답 X(t)X(t)는 X(t)=Φ(t)X(0+)X(t) = \Phi (t) X(0_+)이다.

2

이 제어계의 영입력 응답 X(t)X(t)는 X(t)=Φ(t)X(0+)X(t) = \Phi (t) X(0_+)이다.

3

이 제어계의 영입력 응답 X(t)X(t)는 X(t)=eptX(0+)X(t) = e^{pt} X(0_+)이다.

4

이 제어계의 영상태 응답 X(t)X(t)는 X(t)=∫01Φ(t−τ)Bu(τ)dτX(t) = \int_0^1 \Phi (t-\tau)Bu(\tau)d \tau이다. 단, t≥0 t \ge0

Problem 예제.
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상태 방정식 x(t)˙=Ax(t)+Br(t)\dot{x(t)}=Ax(t)+Br(t)인 제어계의 특성 방정식은?

1

∣sI−B∣=I|sI-B|=I

2

∣sI−A∣=I|sI-A|=I

3

∣sI−B∣=0|sI-B|=0

4

∣sI−A∣=0|sI-A|=0

Problem 예제.
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다음의 상태방정식으로 표시되는 제어계가 있다. 이 방정식의 값은 어떻게 되는가? (단, x(0)는 초기상태 벡터이다.)

x(t)˙=Ax(t)\dot{x(t)} = A x(t)

1

e−Atx(0)e^{-At}x(0)

2

eAtx(0)e^{At}x(0)

3

Ae−Atx(0)Ae^{-At}x(0)

4

AeAtx(0)Ae^{At}x(0)

Problem 예제.
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상태 방정식 X˙=AX+BU\dot X = AX+BU로 표시되는 계의 특성 방정식의 근은?

단, A=[01−2−2],B=[10]A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -2 \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}임

1

1±j2 1 \pm j2

2

−1±j2 -1 \pm j2

3

1±j 1 \pm j

4

−1±j -1 \pm j

Problem 예제.
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상태 방정식 x˙=Ax+Bu \dot x = Ax+Bu에서 A=[01−2−3]A=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ -2& -3 \end{bmatrix}일 때 특성 방정식의 근은?

1

-2, -3

2

-1, -2

3

-1, -3

4

1, -3

Problem 예제.
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A=[01−3−2],B=[45]A= \begin{bmatrix} 0 &1 \\ -3 & -2 \end{bmatrix}, B= \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \end{bmatrix}인 상태 방정식 x˙=Ax+Br \dot x=Ax+Br에서 제어계의 특성 방정식은?

1

s2+4s+3=0s^2 + 4s + 3 = 0

2

s2+3s+2=0s^2 + 3s + 2 = 0

3

s2+3s+4=0s^2 + 3s + 4 = 0

4

s2+2s+3=0s^2 + 2s + 3 = 0

Problem 예제.
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다음 계통의 상태 방정식을 유도하면?

x...+5x¨+10x˙+5x=2u\overset{...} x +5 \ddot x + 10 \dot x + 5 x = 2u

(단, 상태변수를 x1=x,x2=x˙,x3=x¨x_1 = x, x_2 = \dot x, x_3 = \ddot x로 놓았다.)

1

[x˙1x˙2x˙3]=[010001−5−10−5][x1x2x3]+[002]u\begin{bmatrix} \dot x_1 \\ \dot x_2 \\ \dot x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -5 & -10 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} u

2

[x˙1x˙2x˙3]=[010001−5−10−5][x1x2x3]+[200]u\begin{bmatrix} \dot x_1 \\ \dot x_2 \\ \dot x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -5 & -10 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} u

3

[x˙1x˙2x˙3]=[−500−1010−501][x1x2x3]+[200]u\begin{bmatrix} \dot x_1 \\ \dot x_2 \\ \dot x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 0 & 0 \\ -10 & 1 & 0 \\ -5 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} u

4

[x˙1x˙2x˙3]=[−501−1010−500][x1x2x3]+[020]u\begin{bmatrix} \dot x_1 \\ \dot x_2 \\ \dot x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 0 & 1 \\ -10 & 1 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} u

Problem 예제.
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다음 운동 방정식으로 표시되는 계의 계수 행렬 A는 어떻게 표시되는가?

d2c(t)dt2+3dc(t)dt+2c(t)=r(t)\dfrac{d^2 c(t)}{dt^2} + 3 \dfrac{dc(t)}{dt} + 2 c(t) = r(t)

1

[−2−301]\begin{bmatrix} -2 & -3\\ 0 & 1 \end{bmatrix}

2

[10−3−2]\begin{bmatrix} 1 & 0\\ -3 & -2 \end{bmatrix}

3

[01−2−3]\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -2 & -3 \end{bmatrix}

4

[−3−210]\begin{bmatrix} -3 & -2\\ 1 & 0 \end{bmatrix}

Problem 예제.
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x¨+x˙+2x=2u \ddot x + \dot x + 2x = 2u의 상태 변수를 x1=x,x2=x˙x_1 =x, x_2 = \dot x 라 할 때 시스템 매트릭스(system matrix)는?

1

[0111]\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}

2

[0121]\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}

3

[01−2−1]\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -1 \end{bmatrix}

4

[02]\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \end{bmatrix}

Problem 예제.
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다음과 같은 상태 방정식으로 표현되는 제어계에 대한 아래의 서술 중 바르지 못한 것은?

X˙=[01−2−3]X+[110−2]ω\dot X = \begin{bmatrix}0 & 1 \\ -2 & -3\end{bmatrix}X + \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 0 & -2\end{bmatrix} \omega

1

이 제어계는 2차 제어계이다.

2

이 제어계는 부족 제동(underdamped)된 상태에 있다.

3

x는 (2X1)의 계위(order)를 갖는다.

4

(s+1)(s+2)=0(s+1)(s+2)=0이 특성 방정식이다.

Problem 예제.
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선형 시불변계가 다음의 동태 방정식(dynamic equation)으로 쓰여질 때 전달 함수 G(s)는? 단, (sI-A)는 정칙(nonsingular)하다.

x(t)dt=Ax(t)+Br(t)c(t)=Dx(t)+Er(t) \dfrac{x(t)}{dt} = A x(t) + B r(t) \quad c(t) = D x(t) + Er(t)

x(t)=n×1:상태벡터,c(t)=p×1:입력벡터,r(t)=q×1:출력벡터 x(t) = n \times 1 : 상태벡터, \qquad c(t) = p \times 1 : 입력벡터, \qquad r(t) = q \times 1 : 출력벡터

1

G(s)=(sI−A)−1B+E G(s) = (sI-A)^{-1}B + E

2

G(s)=D(sI−A)−1B+E G(s) = D(sI-A)^{-1}B + E

3

G(s)=D(sI−A)−1B G(s) = D(sI-A)^{-1}B

4

G(s)=D(sI−A)B G(s) = D(sI-A)B

Problem 예제.
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그림과 같은 회로도에서 상태 변수를 각각, x1(t)=ec(t),x2(t)=i1(t),x3(t)=i2(t)x_1(t)=e_c(t), x_2(t)=i_1(t), x_3(t)=i_2(t)로 잡았을 때 벡터 행렬로 나타낸 상태 방정식 X˙=AX+BU \dot{X}=AX+BU에서 A행렬은 무엇인가?

1

[0−1C−1C−1L1−RL101L200] \begin{bmatrix} 0 & -\dfrac{1}{C} & -\dfrac{1}{C} \\ -\dfrac{1}{L_1} & -\dfrac{R}{L_1} & 0 \\ \dfrac{1}{L_2} & 0 & 0 \end{bmatrix}

2

[0−1C−1C−1L1−RL10−1L200] \begin{bmatrix} 0 & -\dfrac{1}{C} & -\dfrac{1}{C} \\ -\dfrac{1}{L_1} & -\dfrac{R}{L_1} & 0 \\ -\dfrac{1}{L_2} & 0 & 0 \end{bmatrix}

3

[01C−1C−1L1−RL101L200] \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{1}{C} & -\dfrac{1}{C} \\ -\dfrac{1}{L_1} & -\dfrac{R}{L_1} & 0 \\ \dfrac{1}{L_2} & 0 & 0 \end{bmatrix}

4

[01C1C1L1RL101L200] \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{1}{C} & \dfrac{1}{C} \\ \dfrac{1}{L_1} & \dfrac{R}{L_1} & 0 \\ \dfrac{1}{L_2} & 0 & 0 \end{bmatrix}

Problem 예제.
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다음 계통의 고유값을 구하면?

[X˙1X˙2X˙3]=[010302−12−7−6][X1X2X3] \begin{bmatrix} \dot X_1\\ \dot X_2 \\ \dot X_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \\ -12 & -7 & -6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1\\ X_2 \\ X_3 \end{bmatrix}

1

λ1=−1,λ2=−2,λ3=−3 \lambda_1 = -1, \quad \lambda_2 =-2, \quad \lambda_3 = -3

2

λ1=−1,λ2=−3,λ3=−5 \lambda_1 = -1, \quad \lambda_2 =-3, \quad \lambda_3 = -5

3

λ1=0,λ2=−2,λ3=−3 \lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 =-2, \quad \lambda_3 = -3

4

λ1=0,λ2=−3,λ3=−5 \lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 =-3, \quad \lambda_3 = -5

Problem 예제.
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다음의 상태방정식의 설명 중 옳은 것은?

X˙=[−1100−1000−2]⋅X+[011]⋅U,y=[100]⋅X \dot X = \begin{bmatrix} -1& 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} \cdot X + \begin{bmatrix} 0 \\ 1\\ 1 \end{bmatrix} \cdot U, \qquad y = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot X

1

이 시스템은 가제어이다.

2

이 시스템은 가제어가 아니다.

3

이 시스템은 가제어가 아니고 가관측이다.

4

가제어성 여부를 따질 수 없다.